Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119868 / 119480
↖ ↑ ↗
← S 81.384359°
E149.227295°		 ← 45.75 m → S 81.384359°
E149.230042°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.384771°
E149.227295°		 ← 45.75 m →
2 093 m²		 S 81.384771°
E149.230042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914524078369141 y=0.911563873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914524078369141 × 217)
    floor (0.914524078369141 × 131072)
    floor (119868.5)     		tx = 119868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911563873291016 × 217)
    floor (0.911563873291016 × 131072)
    floor (119480.5)     		ty = 119480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119868 / 119480 ti = "17/119868/119480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119868/119480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119868 ÷ 217
    119868 ÷ 131072     		x = 0.914520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119480 ÷ 217
    119480 ÷ 131072     		y = 0.91156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914520263671875 × 2 - 1) × π
    0.82904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60450763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.8231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58590811310431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60450763} λ = 2.60450763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58590811310431))-π/2
    2×atan(0.0753276425122402)-π/2
    2×0.0751856495699659-π/2
    0.150371299139932-1.57079632675     		φ = -1.42042503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60450763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.227295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42042503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.384359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119868 KachelY 119480 2.60450763 -1.42042503 149.227295 -81.384359
    Oben rechts KachelX + 1 119869 KachelY 119480 2.60455557 -1.42042503 149.230042 -81.384359
    Unten links KachelX 119868 KachelY + 1 119481 2.60450763 -1.42043221 149.227295 -81.384771
    Unten rechts KachelX + 1 119869 KachelY + 1 119481 2.60455557 -1.42043221 149.230042 -81.384771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42042503--1.42043221) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42042503--1.42043221) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60450763-2.60455557) × cos(-1.42042503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14980524969642 × 6371000     		do = 45.7543792443837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60450763-2.60455557) × cos(-1.42043221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149798150715097 × 6371000     		du = 45.75221103276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42042503)-sin(-1.42043221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14980524969642-0.149798150715097)×R²
    abs(2.60455557-2.60450763)×7.0989813227007e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.0989813227007e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.0989813227007e-06×40589641000000     		ar = 2092.92866700596m²