Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119860 / 119468
↖ ↑ ↗
← S 81.379420°
E149.205322°		 ← 45.78 m → S 81.379420°
E149.208069°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.379832°
E149.205322°		 ← 45.78 m →
2 094 m²		 S 81.379832°
E149.208069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914463043212891 y=0.911472320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914463043212891 × 217)
    floor (0.914463043212891 × 131072)
    floor (119860.5)     		tx = 119860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911472320556641 × 217)
    floor (0.911472320556641 × 131072)
    floor (119468.5)     		ty = 119468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119860 / 119468 ti = "17/119860/119468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119860/119468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119860 ÷ 217
    119860 ÷ 131072     		x = 0.914459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119468 ÷ 217
    119468 ÷ 131072     		y = 0.911468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914459228515625 × 2 - 1) × π
    0.82891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60412413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.82293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58533287030887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60412413} λ = 2.60412413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58533287030887))-π/2
    2×atan(0.0753709866614025)-π/2
    2×0.0752287490211595-π/2
    0.150457498042319-1.57079632675     		φ = -1.42033883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60412413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42033883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.379420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119860 KachelY 119468 2.60412413 -1.42033883 149.205322 -81.379420
    Oben rechts KachelX + 1 119861 KachelY 119468 2.60417207 -1.42033883 149.208069 -81.379420
    Unten links KachelX 119860 KachelY + 1 119469 2.60412413 -1.42034601 149.205322 -81.379832
    Unten rechts KachelX + 1 119861 KachelY + 1 119469 2.60417207 -1.42034601 149.208069 -81.379832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42033883--1.42034601) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dl = 45.7437800006788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42033883--1.42034601) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dr = 45.7437800006788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60412413-2.60417207) × cos(-1.42033883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149890476417913 × 6371000     		do = 45.7804096788637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60412413-2.60417207) × cos(-1.42034601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149883377529331 × 6371000     		du = 45.7782414955654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42033883)-sin(-1.42034601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149890476417913-0.149883377529331)×R²
    abs(2.60417207-2.60412413)×7.09888858188568e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.09888858188568e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.09888858188568e-06×40589641000000     		ar = 2094.11939808604m²