Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119860 / 118020
↖ ↑ ↗
← S 80.762379°
E149.205322°		 ← 49.03 m → S 80.762379°
E149.208069°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.762819°
E149.205322°		 ← 49.03 m →
2 402 m²		 S 80.762819°
E149.208069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914463043212891 y=0.900424957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914463043212891 × 217)
    floor (0.914463043212891 × 131072)
    floor (119860.5)     		tx = 119860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900424957275391 × 217)
    floor (0.900424957275391 × 131072)
    floor (118020.5)     		ty = 118020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119860 / 118020 ti = "17/119860/118020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119860/118020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119860 ÷ 217
    119860 ÷ 131072     		x = 0.914459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118020 ÷ 217
    118020 ÷ 131072     		y = 0.900421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914459228515625 × 2 - 1) × π
    0.82891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60412413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.80084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51592023965903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60412413} λ = 2.60412413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51592023965903))-π/2
    2×atan(0.0807885331764623)-π/2
    2×0.0806134550999495-π/2
    0.161226910199899-1.57079632675     		φ = -1.40956942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60412413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40956942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.762379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119860 KachelY 118020 2.60412413 -1.40956942 149.205322 -80.762379
    Oben rechts KachelX + 1 119861 KachelY 118020 2.60417207 -1.40956942 149.208069 -80.762379
    Unten links KachelX 119860 KachelY + 1 118021 2.60412413 -1.40957711 149.205322 -80.762819
    Unten rechts KachelX + 1 119861 KachelY + 1 118021 2.60417207 -1.40957711 149.208069 -80.762819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40956942--1.40957711) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40956942--1.40957711) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60412413-2.60417207) × cos(-1.40956942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160529322261592 × 6371000     		do = 49.0297870434131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60412413-2.60417207) × cos(-1.40957711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160521731987904 × 6371000     		du = 49.027468778455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40956942)-sin(-1.40957711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160529322261592-0.160521731987904)×R²
    abs(2.60417207-2.60412413)×7.59027368871235e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59027368871235e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59027368871235e-06×40589641000000     		ar = 2402.05907701652m²