Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119858 / 119469
↖ ↑ ↗
← S 81.379832°
E149.199829°		 ← 45.78 m → S 81.379832°
E149.202576°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.380244°
E149.199829°		 ← 45.78 m →
2 097 m²		 S 81.380244°
E149.202576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914447784423828 y=0.911479949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914447784423828 × 217)
    floor (0.914447784423828 × 131072)
    floor (119858.5)     		tx = 119858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911479949951172 × 217)
    floor (0.911479949951172 × 131072)
    floor (119469.5)     		ty = 119469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119858 / 119469 ti = "17/119858/119469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119858/119469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119858 ÷ 217
    119858 ÷ 131072     		x = 0.914443969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119469 ÷ 217
    119469 ÷ 131072     		y = 0.911476135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914443969726562 × 2 - 1) × π
    0.828887939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60402826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911476135253906 × 2 - 1) × π
    -0.822952270507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.58538080720849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60402826} λ = 2.60402826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58538080720849))-π/2
    2×atan(0.0753673736965784)-π/2
    2×0.0752251564639048-π/2
    0.15045031292781-1.57079632675     		φ = -1.42034601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60402826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.199829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42034601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.379832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119858 KachelY 119469 2.60402826 -1.42034601 149.199829 -81.379832
    Oben rechts KachelX + 1 119859 KachelY 119469 2.60407620 -1.42034601 149.202576 -81.379832
    Unten links KachelX 119858 KachelY + 1 119470 2.60402826 -1.42035320 149.199829 -81.380244
    Unten rechts KachelX + 1 119859 KachelY + 1 119470 2.60407620 -1.42035320 149.202576 -81.380244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42034601--1.42035320) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42034601--1.42035320) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60402826-2.60407620) × cos(-1.42034601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149883377529331 × 6371000     		do = 45.7782414955654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60402826-2.60407620) × cos(-1.42035320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149876268745975 × 6371000     		du = 45.7760702901483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42034601)-sin(-1.42035320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149883377529331-0.149876268745975)×R²
    abs(2.60407620-2.60402826)×7.10878335627441e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.10878335627441e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.10878335627441e-06×40589641000000     		ar = 2096.93661083286m²