Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119855 / 119119
↖ ↑ ↗
← S 81.234547°
E149.191589°		 ← 46.54 m → S 81.234547°
E149.194336°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.234966°
E149.191589°		 ← 46.54 m →
2 168 m²		 S 81.234966°
E149.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914424896240234 y=0.908809661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914424896240234 × 217)
    floor (0.914424896240234 × 131072)
    floor (119855.5)     		tx = 119855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908809661865234 × 217)
    floor (0.908809661865234 × 131072)
    floor (119119.5)     		ty = 119119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119855 / 119119 ti = "17/119855/119119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119855/119119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119855 ÷ 217
    119855 ÷ 131072     		x = 0.914421081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119119 ÷ 217
    119119 ÷ 131072     		y = 0.908805847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914421081542969 × 2 - 1) × π
    0.828842163085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60388445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908805847167969 × 2 - 1) × π
    -0.817611694335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.56860289234147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60388445} λ = 2.60388445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56860289234147))-π/2
    2×atan(0.076642548550612)-π/2
    2×0.0764930070887692-π/2
    0.152986014177538-1.57079632675     		φ = -1.41781031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60388445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.191589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41781031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.234547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119855 KachelY 119119 2.60388445 -1.41781031 149.191589 -81.234547
    Oben rechts KachelX + 1 119856 KachelY 119119 2.60393239 -1.41781031 149.194336 -81.234547
    Unten links KachelX 119855 KachelY + 1 119120 2.60388445 -1.41781762 149.191589 -81.234966
    Unten rechts KachelX + 1 119856 KachelY + 1 119120 2.60393239 -1.41781762 149.194336 -81.234966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41781031--1.41781762) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41781031--1.41781762) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60388445-2.60393239) × cos(-1.41781031) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152389948914246 × 6371000     		do = 46.5438129160964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60388445-2.60393239) × cos(-1.41781762) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152382724287716 × 6371000     		du = 46.5416063291923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41781031)-sin(-1.41781762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152389948914246-0.152382724287716)×R²
    abs(2.60393239-2.60388445)×7.22462652985589e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.22462652985589e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.22462652985589e-06×40589641000000     		ar = 2167.58753787143m²