Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119854 / 118754
↖ ↑ ↗
← S 81.080448°
E149.188843°		 ← 47.36 m → S 81.080448°
E149.191589°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.080873°
E149.188843°		 ← 47.35 m →
2 242 m²		 S 81.080873°
E149.191589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914417266845703 y=0.906024932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914417266845703 × 217)
    floor (0.914417266845703 × 131072)
    floor (119854.5)     		tx = 119854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906024932861328 × 217)
    floor (0.906024932861328 × 131072)
    floor (118754.5)     		ty = 118754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119854 / 118754 ti = "17/119854/118754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119854/118754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119854 ÷ 217
    119854 ÷ 131072     		x = 0.914413452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118754 ÷ 217
    118754 ÷ 131072     		y = 0.906021118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914413452148438 × 2 - 1) × π
    0.828826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60383651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906021118164062 × 2 - 1) × π
    -0.812042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55110592398015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60383651} λ = 2.60383651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55110592398015))-π/2
    2×atan(0.0779953613463026)-π/2
    2×0.077837780332874-π/2
    0.155675560665748-1.57079632675     		φ = -1.41512077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60383651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.188843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41512077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.080448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119854 KachelY 118754 2.60383651 -1.41512077 149.188843 -81.080448
    Oben rechts KachelX + 1 119855 KachelY 118754 2.60388445 -1.41512077 149.191589 -81.080448
    Unten links KachelX 119854 KachelY + 1 118755 2.60383651 -1.41512820 149.188843 -81.080873
    Unten rechts KachelX + 1 119855 KachelY + 1 118755 2.60388445 -1.41512820 149.191589 -81.080873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41512077--1.41512820) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dl = 47.3365300009014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41512077--1.41512820) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dr = 47.3365300009014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60383651-2.60388445) × cos(-1.41512077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155047521915665 × 6371000     		do = 47.3555041162271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60383651-2.60388445) × cos(-1.41512820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15504018176228 × 6371000     		du = 47.3532622444478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41512077)-sin(-1.41512820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155047521915665-0.15504018176228)×R²
    abs(2.60388445-2.60383651)×7.34015338491045e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34015338491045e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34015338491045e-06×40589641000000     		ar = 2241.59218008001m²