Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119853 / 117739
↖ ↑ ↗
← S 80.637657°
E149.186096°		 ← 49.68 m → S 80.637657°
E149.188843°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
S 80.638103°
E149.186096°		 ← 49.67 m →
2 465 m²		 S 80.638103°
E149.188843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914409637451172 y=0.898281097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914409637451172 × 217)
    floor (0.914409637451172 × 131072)
    floor (119853.5)     		tx = 119853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898281097412109 × 217)
    floor (0.898281097412109 × 131072)
    floor (117739.5)     		ty = 117739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119853 / 117739 ti = "17/119853/117739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119853/117739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119853 ÷ 217
    119853 ÷ 131072     		x = 0.914405822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117739 ÷ 217
    117739 ÷ 131072     		y = 0.898277282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914405822753906 × 2 - 1) × π
    0.828811645507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60378858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898277282714844 × 2 - 1) × π
    -0.796554565429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.50244997086579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60378858} λ = 2.60378858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50244997086579))-π/2
    2×atan(0.0818841389194331)-π/2
    2×0.0817018602840511-π/2
    0.163403720568102-1.57079632675     		φ = -1.40739261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60378858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.186096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40739261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.637657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119853 KachelY 117739 2.60378858 -1.40739261 149.186096 -80.637657
    Oben rechts KachelX + 1 119854 KachelY 117739 2.60383651 -1.40739261 149.188843 -80.637657
    Unten links KachelX 119853 KachelY + 1 117740 2.60378858 -1.40740040 149.186096 -80.638103
    Unten rechts KachelX + 1 119854 KachelY + 1 117740 2.60383651 -1.40740040 149.188843 -80.638103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40739261--1.40740040) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dl = 49.6300899996942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40739261--1.40740040) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dr = 49.6300899996942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60378858-2.60383651) × cos(-1.40739261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162677519338062 × 6371000     		do = 49.6755375404654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60378858-2.60383651) × cos(-1.40740040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162669833101444 × 6371000     		du = 49.6731904556486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40739261)-sin(-1.40740040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162677519338062-0.162669833101444)×R²
    abs(2.60383651-2.60378858)×7.68623661831502e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.68623661831502e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.68623661831502e-06×40589641000000     		ar = 2465.3431560231m²