Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119852 / 117836
↖ ↑ ↗
← S 80.680897°
E149.183350°		 ← 49.46 m → S 80.680897°
E149.186096°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
S 80.681342°
E149.183350°		 ← 49.46 m →
2 448 m²		 S 80.681342°
E149.186096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914402008056641 y=0.899021148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914402008056641 × 217)
    floor (0.914402008056641 × 131072)
    floor (119852.5)     		tx = 119852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899021148681641 × 217)
    floor (0.899021148681641 × 131072)
    floor (117836.5)     		ty = 117836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119852 / 117836 ti = "17/119852/117836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119852/117836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119852 ÷ 217
    119852 ÷ 131072     		x = 0.914398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117836 ÷ 217
    117836 ÷ 131072     		y = 0.899017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914398193359375 × 2 - 1) × π
    0.82879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60374064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.79803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50709985012894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60374064} λ = 2.60374064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50709985012894))-π/2
    2×atan(0.0815042714133487)-π/2
    2×0.0813245111887963-π/2
    0.162649022377593-1.57079632675     		φ = -1.40814730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60374064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40814730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.680897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119852 KachelY 117836 2.60374064 -1.40814730 149.183350 -80.680897
    Oben rechts KachelX + 1 119853 KachelY 117836 2.60378858 -1.40814730 149.186096 -80.680897
    Unten links KachelX 119852 KachelY + 1 117837 2.60374064 -1.40815507 149.183350 -80.681342
    Unten rechts KachelX + 1 119853 KachelY + 1 117837 2.60378858 -1.40815507 149.186096 -80.681342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40814730--1.40815507) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40814730--1.40815507) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60374064-2.60378858) × cos(-1.40814730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161932836087025 × 6371000     		do = 49.4584562921459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60374064-2.60378858) × cos(-1.40815507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161925168632292 × 6371000     		du = 49.4561144541102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40814730)-sin(-1.40815507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161932836087025-0.161925168632292)×R²
    abs(2.60378858-2.60374064)×7.66745473287922e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.66745473287922e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.66745473287922e-06×40589641000000     		ar = 2448.26767682614m²