Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119851 / 117729
↖ ↑ ↗
← S 80.633188°
E149.180603°		 ← 49.71 m → S 80.633188°
E149.183350°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
S 80.633635°
E149.180603°		 ← 49.71 m →
2 470 m²		 S 80.633635°
E149.183350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914394378662109 y=0.898204803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914394378662109 × 217)
    floor (0.914394378662109 × 131072)
    floor (119851.5)     		tx = 119851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898204803466797 × 217)
    floor (0.898204803466797 × 131072)
    floor (117729.5)     		ty = 117729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119851 / 117729 ti = "17/119851/117729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119851/117729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119851 ÷ 217
    119851 ÷ 131072     		x = 0.914390563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117729 ÷ 217
    117729 ÷ 131072     		y = 0.898200988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914390563964844 × 2 - 1) × π
    0.828781127929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60369270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898200988769531 × 2 - 1) × π
    -0.796401977539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.50197060186959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60369270} λ = 2.60369270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50197060186959))-π/2
    2×atan(0.081923401046683)-π/2
    2×0.081740860787048-π/2
    0.163481721574096-1.57079632675     		φ = -1.40731461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60369270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.180603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40731461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.633188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119851 KachelY 117729 2.60369270 -1.40731461 149.180603 -80.633188
    Oben rechts KachelX + 1 119852 KachelY 117729 2.60374064 -1.40731461 149.183350 -80.633188
    Unten links KachelX 119851 KachelY + 1 117730 2.60369270 -1.40732241 149.180603 -80.633635
    Unten rechts KachelX + 1 119852 KachelY + 1 117730 2.60374064 -1.40732241 149.183350 -80.633635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40731461--1.40732241) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dl = 49.693799999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40731461--1.40732241) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dr = 49.693799999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60369270-2.60374064) × cos(-1.40731461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162754479827873 × 6371000     		do = 49.7094074397107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60369270-2.60374064) × cos(-1.40732241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162746783823444 × 6371000     		du = 49.7070568818627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40731461)-sin(-1.40732241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162754479827873-0.162746783823444)×R²
    abs(2.60374064-2.60369270)×7.69600442979135e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.69600442979135e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.69600442979135e-06×40589641000000     		ar = 2470.1909474442m²