Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119850 / 119482
↖ ↑ ↗
← S 81.385182°
E149.177857°		 ← 45.74 m → S 81.385182°
E149.180603°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.385593°
E149.177857°		 ← 45.74 m →
2 092 m²		 S 81.385593°
E149.180603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914386749267578 y=0.911579132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914386749267578 × 217)
    floor (0.914386749267578 × 131072)
    floor (119850.5)     		tx = 119850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911579132080078 × 217)
    floor (0.911579132080078 × 131072)
    floor (119482.5)     		ty = 119482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119850 / 119482 ti = "17/119850/119482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119850/119482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119850 ÷ 217
    119850 ÷ 131072     		x = 0.914382934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119482 ÷ 217
    119482 ÷ 131072     		y = 0.911575317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914382934570312 × 2 - 1) × π
    0.828765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60364477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911575317382812 × 2 - 1) × π
    -0.823150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58600398690355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60364477} λ = 2.60364477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58600398690355))-π/2
    2×atan(0.0753204209111515)-π/2
    2×0.0751784687109868-π/2
    0.150356937421974-1.57079632675     		φ = -1.42043939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60364477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.177857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42043939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.385182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119850 KachelY 119482 2.60364477 -1.42043939 149.177857 -81.385182
    Oben rechts KachelX + 1 119851 KachelY 119482 2.60369270 -1.42043939 149.180603 -81.385182
    Unten links KachelX 119850 KachelY + 1 119483 2.60364477 -1.42044657 149.177857 -81.385593
    Unten rechts KachelX + 1 119851 KachelY + 1 119483 2.60369270 -1.42044657 149.180603 -81.385593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42043939--1.42044657) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42043939--1.42044657) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60364477-2.60369270) × cos(-1.42043939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149791051726052 × 6371000     		do = 45.7404996309301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60364477-2.60369270) × cos(-1.42044657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149783952729284 × 6371000     		du = 45.7383318668663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42043939)-sin(-1.42044657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149791051726052-0.149783952729284)×R²
    abs(2.60369270-2.60364477)×7.09899676723524e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.09899676723524e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.09899676723524e-06×40589641000000     		ar = 2092.29377131154m²