Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11985 / 15057
↖ ↑ ↗
← N 14.424041°
W 48.328858°		 ← 1 183.13 m → N 14.424041°
W 48.317871°		 →
↑
1 183.16 m
↓
↑
1 183.16 m
↓
N 14.413400°
W 48.328858°		 ← 1 183.19 m →
1 399 866 m²		 N 14.413400°
W 48.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365768432617188 y=0.459518432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365768432617188 × 215)
    floor (0.365768432617188 × 32768)
    floor (11985.5)     		tx = 11985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459518432617188 × 215)
    floor (0.459518432617188 × 32768)
    floor (15057.5)     		ty = 15057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11985 / 15057 ti = "15/11985/15057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11985/15057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11985 ÷ 215
    11985 ÷ 32768     		x = 0.365753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15057 ÷ 215
    15057 ÷ 32768     		y = 0.459503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.26849365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84349769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459503173828125 × 2 - 1) × π
    0.08099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.254449063183258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84349769} λ = -0.84349769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254449063183258))-π/2
    2×atan(1.28975085386719)-π/2
    2×0.911271661991334-π/2
    1.82254332398267-1.57079632675     		φ = 0.25174700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84349769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.328858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25174700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.424041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11985 KachelY 15057 -0.84349769 0.25174700 -48.328858 14.424041
    Oben rechts KachelX + 1 11986 KachelY 15057 -0.84330594 0.25174700 -48.317871 14.424041
    Unten links KachelX 11985 KachelY + 1 15058 -0.84349769 0.25156129 -48.328858 14.413400
    Unten rechts KachelX + 1 11986 KachelY + 1 15058 -0.84330594 0.25156129 -48.317871 14.413400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25174700-0.25156129) × R
    0.000185710000000006 × 6371000     		dl = 1183.15841000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25174700-0.25156129) × R
    0.000185710000000006 × 6371000     		dr = 1183.15841000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84349769--0.84330594) × cos(0.25174700) × R
    0.000191749999999935 × 0.968478728649341 × 6371000     		do = 1183.13162770773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84349769--0.84330594) × cos(0.25156129) × R
    0.000191749999999935 × 0.96852497161699 × 6371000     		du = 1183.18811993205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25174700)-sin(0.25156129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968478728649341-0.96852497161699)×R²
    abs(-0.84330594--0.84349769)×4.62429676485465e-05×R²
    0.000191749999999935×4.62429676485465e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.62429676485465e-05×40589641000000     		ar = 1399865.55910797m²