Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119848 / 118504
↖ ↑ ↗
← S 80.973352°
E149.172363°		 ← 47.92 m → S 80.973352°
E149.175110°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.973783°
E149.172363°		 ← 47.92 m →
2 296 m²		 S 80.973783°
E149.175110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914371490478516 y=0.904117584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914371490478516 × 217)
    floor (0.914371490478516 × 131072)
    floor (119848.5)     		tx = 119848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904117584228516 × 217)
    floor (0.904117584228516 × 131072)
    floor (118504.5)     		ty = 118504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119848 / 118504 ti = "17/119848/118504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119848/118504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119848 ÷ 217
    119848 ÷ 131072     		x = 0.91436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118504 ÷ 217
    118504 ÷ 131072     		y = 0.90411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91436767578125 × 2 - 1) × π
    0.8287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60354889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.8082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53912169907513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60354889} λ = 2.60354889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53912169907513))-π/2
    2×atan(0.0789356986507235)-π/2
    2×0.0787723634917018-π/2
    0.157544726983404-1.57079632675     		φ = -1.41325160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60354889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41325160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.973352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119848 KachelY 118504 2.60354889 -1.41325160 149.172363 -80.973352
    Oben rechts KachelX + 1 119849 KachelY 118504 2.60359683 -1.41325160 149.175110 -80.973352
    Unten links KachelX 119848 KachelY + 1 118505 2.60354889 -1.41325912 149.172363 -80.973783
    Unten rechts KachelX + 1 119849 KachelY + 1 118505 2.60359683 -1.41325912 149.175110 -80.973783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41325160--1.41325912) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41325160--1.41325912) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60354889-2.60359683) × cos(-1.41325160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156893816139369 × 6371000     		do = 47.9194098957593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60354889-2.60359683) × cos(-1.41325912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156886389266546 × 6371000     		du = 47.9171415376313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41325160)-sin(-1.41325912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156893816139369-0.156886389266546)×R²
    abs(2.60359683-2.60354889)×7.42687282340171e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42687282340171e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42687282340171e-06×40589641000000     		ar = 2295.76075604052m²