Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119847 / 118440
↖ ↑ ↗
← S 80.945731°
E149.169617°		 ← 48.05 m → S 80.945731°
E149.172363°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
S 80.946164°
E149.169617°		 ← 48.05 m →
2 308 m²		 S 80.946164°
E149.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914363861083984 y=0.903629302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914363861083984 × 217)
    floor (0.914363861083984 × 131072)
    floor (119847.5)     		tx = 119847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903629302978516 × 217)
    floor (0.903629302978516 × 131072)
    floor (118440.5)     		ty = 118440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119847 / 118440 ti = "17/119847/118440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119847/118440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119847 ÷ 217
    119847 ÷ 131072     		x = 0.914360046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118440 ÷ 217
    118440 ÷ 131072     		y = 0.90362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914360046386719 × 2 - 1) × π
    0.828720092773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60350096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.8072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53605373749945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60350096} λ = 2.60350096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53605373749945))-π/2
    2×atan(0.079178242208048)-π/2
    2×0.0790134005650631-π/2
    0.158026801130126-1.57079632675     		φ = -1.41276953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60350096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.169617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41276953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.945731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119847 KachelY 118440 2.60350096 -1.41276953 149.169617 -80.945731
    Oben rechts KachelX + 1 119848 KachelY 118440 2.60354889 -1.41276953 149.172363 -80.945731
    Unten links KachelX 119847 KachelY + 1 118441 2.60350096 -1.41277707 149.169617 -80.946164
    Unten rechts KachelX + 1 119848 KachelY + 1 118441 2.60354889 -1.41277707 149.172363 -80.946164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41276953--1.41277707) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41276953--1.41277707) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60350096-2.60354889) × cos(-1.41276953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157369897683544 × 6371000     		do = 48.0547914175688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60350096-2.60354889) × cos(-1.41277707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157362451629519 × 6371000     		du = 48.052517675396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41276953)-sin(-1.41277707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157369897683544-0.157362451629519)×R²
    abs(2.60354889-2.60350096)×7.4460540258614e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4460540258614e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4460540258614e-06×40589641000000     		ar = 2308.36974151877m²