Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119844 / 117944
↖ ↑ ↗
← S 80.728809°
E149.161377°		 ← 49.21 m → S 80.728809°
E149.164123°		 →
↑
49.25 m
↓
↑
49.25 m
↓
S 80.729252°
E149.161377°		 ← 49.20 m →
2 423 m²		 S 80.729252°
E149.164123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914340972900391 y=0.899845123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914340972900391 × 217)
    floor (0.914340972900391 × 131072)
    floor (119844.5)     		tx = 119844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899845123291016 × 217)
    floor (0.899845123291016 × 131072)
    floor (117944.5)     		ty = 117944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119844 / 117944 ti = "17/119844/117944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119844/117944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119844 ÷ 217
    119844 ÷ 131072     		x = 0.914337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117944 ÷ 217
    117944 ÷ 131072     		y = 0.89984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914337158203125 × 2 - 1) × π
    0.82867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60335714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.7996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5122770352879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60335714} λ = 2.60335714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5122770352879))-π/2
    2×atan(0.0810833991159626)-π/2
    2×0.0809064020501219-π/2
    0.161812804100244-1.57079632675     		φ = -1.40898352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60335714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.161377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40898352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.728809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119844 KachelY 117944 2.60335714 -1.40898352 149.161377 -80.728809
    Oben rechts KachelX + 1 119845 KachelY 117944 2.60340508 -1.40898352 149.164123 -80.728809
    Unten links KachelX 119844 KachelY + 1 117945 2.60335714 -1.40899125 149.161377 -80.729252
    Unten rechts KachelX + 1 119845 KachelY + 1 117945 2.60340508 -1.40899125 149.164123 -80.729252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40898352--1.40899125) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dl = 49.2478299991881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40898352--1.40899125) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dr = 49.2478299991881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60335714-2.60340508) × cos(-1.40898352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161107596180315 × 6371000     		do = 49.2064067829617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60335714-2.60340508) × cos(-1.40899125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161099967153665 × 6371000     		du = 49.2040766818516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40898352)-sin(-1.40899125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161107596180315-0.161099967153665)×R²
    abs(2.60340508-2.60335714)×7.62902665019105e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.62902665019105e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.62902665019105e-06×40589641000000     		ar = 2423.25137982767m²