Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119844 / 117828
↖ ↑ ↗
← S 80.677339°
E149.161377°		 ← 49.48 m → S 80.677339°
E149.164123°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
S 80.677784°
E149.161377°		 ← 49.47 m →
2 449 m²		 S 80.677784°
E149.164123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914340972900391 y=0.898960113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914340972900391 × 217)
    floor (0.914340972900391 × 131072)
    floor (119844.5)     		tx = 119844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898960113525391 × 217)
    floor (0.898960113525391 × 131072)
    floor (117828.5)     		ty = 117828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119844 / 117828 ti = "17/119844/117828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119844/117828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119844 ÷ 217
    119844 ÷ 131072     		x = 0.914337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117828 ÷ 217
    117828 ÷ 131072     		y = 0.898956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914337158203125 × 2 - 1) × π
    0.82867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60335714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898956298828125 × 2 - 1) × π
    -0.79791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.50671635493198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60335714} λ = 2.60335714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50671635493198))-π/2
    2×atan(0.0815355339040918)-π/2
    2×0.0813555672963442-π/2
    0.162711134592688-1.57079632675     		φ = -1.40808519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60335714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.161377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40808519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.677339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119844 KachelY 117828 2.60335714 -1.40808519 149.161377 -80.677339
    Oben rechts KachelX + 1 119845 KachelY 117828 2.60340508 -1.40808519 149.164123 -80.677339
    Unten links KachelX 119844 KachelY + 1 117829 2.60335714 -1.40809296 149.161377 -80.677784
    Unten rechts KachelX + 1 119845 KachelY + 1 117829 2.60340508 -1.40809296 149.164123 -80.677784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40808519--1.40809296) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40808519--1.40809296) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60335714-2.60340508) × cos(-1.40808519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161994126033314 × 6371000     		do = 49.4771758193458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60335714-2.60340508) × cos(-1.40809296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161986458656742 × 6371000     		du = 49.4748340051824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40808519)-sin(-1.40809296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161994126033314-0.161986458656742)×R²
    abs(2.60340508-2.60335714)×7.66737657204031e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.66737657204031e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.66737657204031e-06×40589641000000     		ar = 2449.19434418273m²