Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119842 / 119434
↖ ↑ ↗
← S 81.365412°
E149.155884°		 ← 45.85 m → S 81.365412°
E149.158631°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
S 81.365824°
E149.155884°		 ← 45.85 m →
2 103 m²		 S 81.365824°
E149.158631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914325714111328 y=0.911212921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914325714111328 × 217)
    floor (0.914325714111328 × 131072)
    floor (119842.5)     		tx = 119842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911212921142578 × 217)
    floor (0.911212921142578 × 131072)
    floor (119434.5)     		ty = 119434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119842 / 119434 ti = "17/119842/119434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119842/119434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119842 ÷ 217
    119842 ÷ 131072     		x = 0.914321899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119434 ÷ 217
    119434 ÷ 131072     		y = 0.911209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914321899414062 × 2 - 1) × π
    0.828643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60326127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911209106445312 × 2 - 1) × π
    -0.822418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58370301572179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60326127} λ = 2.60326127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58370301572179))-π/2
    2×atan(0.0754939305728785)-π/2
    2×0.075350997332769-π/2
    0.150701994665538-1.57079632675     		φ = -1.42009433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60326127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42009433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.365412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119842 KachelY 119434 2.60326127 -1.42009433 149.155884 -81.365412
    Oben rechts KachelX + 1 119843 KachelY 119434 2.60330921 -1.42009433 149.158631 -81.365412
    Unten links KachelX 119842 KachelY + 1 119435 2.60326127 -1.42010153 149.155884 -81.365824
    Unten rechts KachelX + 1 119843 KachelY + 1 119435 2.60330921 -1.42010153 149.158631 -81.365824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42009433--1.42010153) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42009433--1.42010153) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60326127-2.60330921) × cos(-1.42009433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15013220972267 × 6371000     		do = 45.8542412523516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60326127-2.60330921) × cos(-1.42010153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150125091324088 × 6371000     		du = 45.8520671101972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42009433)-sin(-1.42010153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15013220972267-0.150125091324088)×R²
    abs(2.60330921-2.60326127)×7.11839858175134e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11839858175134e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11839858175134e-06×40589641000000     		ar = 2103.33920595303m²