Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119841 / 118047
↖ ↑ ↗
← S 80.774276°
E149.153137°		 ← 48.97 m → S 80.774276°
E149.155884°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.774716°
E149.153137°		 ← 48.96 m →
2 396 m²		 S 80.774716°
E149.155884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914318084716797 y=0.900630950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914318084716797 × 217)
    floor (0.914318084716797 × 131072)
    floor (119841.5)     		tx = 119841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900630950927734 × 217)
    floor (0.900630950927734 × 131072)
    floor (118047.5)     		ty = 118047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119841 / 118047 ti = "17/119841/118047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119841/118047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119841 ÷ 217
    119841 ÷ 131072     		x = 0.914314270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118047 ÷ 217
    118047 ÷ 131072     		y = 0.900627136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914314270019531 × 2 - 1) × π
    0.828628540039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.60321333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900627136230469 × 2 - 1) × π
    -0.801254272460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.51721453594877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60321333} λ = 2.60321333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51721453594877))-π/2
    2×atan(0.0806840365171253)-π/2
    2×0.0805096351750722-π/2
    0.161019270350144-1.57079632675     		φ = -1.40977706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60321333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.153137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40977706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.774276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119841 KachelY 118047 2.60321333 -1.40977706 149.153137 -80.774276
    Oben rechts KachelX + 1 119842 KachelY 118047 2.60326127 -1.40977706 149.155884 -80.774276
    Unten links KachelX 119841 KachelY + 1 118048 2.60321333 -1.40978474 149.153137 -80.774716
    Unten rechts KachelX + 1 119842 KachelY + 1 118048 2.60326127 -1.40978474 149.155884 -80.774716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40977706--1.40978474) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40977706--1.40978474) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60321333-2.60326127) × cos(-1.40977706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160324371670757 × 6371000     		do = 48.9671898575438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60321333-2.60326127) × cos(-1.40978474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160316791011568 × 6371000     		du = 48.9648745291015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40977706)-sin(-1.40978474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160324371670757-0.160316791011568)×R²
    abs(2.60326127-2.60321333)×7.58065918840534e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58065918840534e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58065918840534e-06×40589641000000     		ar = 2395.87269977162m²