Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11984 / 12810
↖ ↑ ↗
← S 70.685422°
E 83.320313°		 ← 808.10 m → S 70.685422°
E 83.342285°		 →
↑
807.97 m
↓
↑
807.97 m
↓
S 70.692688°
E 83.320313°		 ← 807.81 m →
652 806 m²		 S 70.692688°
E 83.342285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731475830078125 y=0.781890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731475830078125 × 214)
    floor (0.731475830078125 × 16384)
    floor (11984.5)     		tx = 11984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781890869140625 × 214)
    floor (0.781890869140625 × 16384)
    floor (12810.5)     		ty = 12810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11984 / 12810 ti = "14/11984/12810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11984/12810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11984 ÷ 214
    11984 ÷ 16384     		x = 0.7314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12810 ÷ 214
    12810 ÷ 16384     		y = 0.7818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7314453125 × 2 - 1) × π
    0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77098081956335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45421379} λ = 1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77098081956335))-π/2
    2×atan(0.17016600480167)-π/2
    2×0.168551494738308-π/2
    0.337102989476615-1.57079632675     		φ = -1.23369334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23369334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.685422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11984 KachelY 12810 1.45421379 -1.23369334 83.320313 -70.685422
    Oben rechts KachelX + 1 11985 KachelY 12810 1.45459728 -1.23369334 83.342285 -70.685422
    Unten links KachelX 11984 KachelY + 1 12811 1.45421379 -1.23382016 83.320313 -70.692688
    Unten rechts KachelX + 1 11985 KachelY + 1 12811 1.45459728 -1.23382016 83.342285 -70.692688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23369334--1.23382016) × R
    0.000126819999999972 × 6371000     		dl = 807.970219999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23369334--1.23382016) × R
    0.000126819999999972 × 6371000     		dr = 807.970219999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45421379-1.45459728) × cos(-1.23369334) × R
    0.000383489999999931 × 0.330754523820752 × 6371000     		do = 808.104344458123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45421379-1.45459728) × cos(-1.23382016) × R
    0.000383489999999931 × 0.330634838993567 × 6371000     		du = 807.811928718206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23369334)-sin(-1.23382016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330754523820752-0.330634838993567)×R²
    abs(1.45459728-1.45421379)×0.000119684827184996×R²
    0.000383489999999931×0.000119684827184996×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119684827184996×40589641000000     		ar = 652806.114244919m²