Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119839 / 119441
↖ ↑ ↗
← S 81.368298°
E149.147644°		 ← 45.84 m → S 81.368298°
E149.150391°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
S 81.368710°
E149.147644°		 ← 45.84 m →
2 103 m²		 S 81.368710°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914302825927734 y=0.911266326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914302825927734 × 217)
    floor (0.914302825927734 × 131072)
    floor (119839.5)     		tx = 119839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911266326904297 × 217)
    floor (0.911266326904297 × 131072)
    floor (119441.5)     		ty = 119441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119839 / 119441 ti = "17/119839/119441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119839/119441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119839 ÷ 217
    119839 ÷ 131072     		x = 0.914299011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119441 ÷ 217
    119441 ÷ 131072     		y = 0.911262512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914299011230469 × 2 - 1) × π
    0.828598022460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60311746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911262512207031 × 2 - 1) × π
    -0.822525024414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.58403857401913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60311746} λ = 2.60311746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58403857401913))-π/2
    2×atan(0.0754686022078851)-π/2
    2×0.0753258124566335-π/2
    0.150651624913267-1.57079632675     		φ = -1.42014470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60311746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.147644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42014470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.368298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119839 KachelY 119441 2.60311746 -1.42014470 149.147644 -81.368298
    Oben rechts KachelX + 1 119840 KachelY 119441 2.60316540 -1.42014470 149.150391 -81.368298
    Unten links KachelX 119839 KachelY + 1 119442 2.60311746 -1.42015190 149.147644 -81.368710
    Unten rechts KachelX + 1 119840 KachelY + 1 119442 2.60316540 -1.42015190 149.150391 -81.368710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42014470--1.42015190) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42014470--1.42015190) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60311746-2.60316540) × cos(-1.42014470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150082410429383 × 6371000     		do = 45.839031266348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60311746-2.60316540) × cos(-1.42015190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150075291976364 × 6371000     		du = 45.836857107567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42014470)-sin(-1.42015190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150082410429383-0.150075291976364)×R²
    abs(2.60316540-2.60311746)×7.11845301895608e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11845301895608e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11845301895608e-06×40589641000000     		ar = 2102.64150532617m²