Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119836 / 117748
↖ ↑ ↗
← S 80.641677°
E149.139404°		 ← 49.66 m → S 80.641677°
E149.142151°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
S 80.642123°
E149.139404°		 ← 49.66 m →
2 465 m²		 S 80.642123°
E149.142151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914279937744141 y=0.898349761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914279937744141 × 217)
    floor (0.914279937744141 × 131072)
    floor (119836.5)     		tx = 119836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898349761962891 × 217)
    floor (0.898349761962891 × 131072)
    floor (117748.5)     		ty = 117748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119836 / 117748 ti = "17/119836/117748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119836/117748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119836 ÷ 217
    119836 ÷ 131072     		x = 0.914276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117748 ÷ 217
    117748 ÷ 131072     		y = 0.898345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914276123046875 × 2 - 1) × π
    0.82855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60297365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.79669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.50288140296237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60297365} λ = 2.60297365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50288140296237))-π/2
    2×atan(0.0818488190933035)-π/2
    2×0.0816667755997033-π/2
    0.163333551199407-1.57079632675     		φ = -1.40746278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60297365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.139404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40746278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.641677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119836 KachelY 117748 2.60297365 -1.40746278 149.139404 -80.641677
    Oben rechts KachelX + 1 119837 KachelY 117748 2.60302159 -1.40746278 149.142151 -80.641677
    Unten links KachelX 119836 KachelY + 1 117749 2.60297365 -1.40747057 149.139404 -80.642123
    Unten rechts KachelX + 1 119837 KachelY + 1 117749 2.60302159 -1.40747057 149.142151 -80.642123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40746278--1.40747057) × R
    7.79000000017405e-06 × 6371000     		dl = 49.6300900011089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40746278--1.40747057) × R
    7.79000000017405e-06 × 6371000     		dr = 49.6300900011089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60297365-2.60302159) × cos(-1.40746278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162608283651722 × 6371000     		do = 49.6647553644244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60297365-2.60302159) × cos(-1.40747057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162600597326201 × 6371000     		du = 49.6624077627643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40746278)-sin(-1.40747057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162608283651722-0.162600597326201)×R²
    abs(2.60302159-2.60297365)×7.68632552097803e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.68632552097803e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.68632552097803e-06×40589641000000     		ar = 2464.80802282547m²