Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119835 / 118567
↖ ↑ ↗
← S 81.000460°
E149.136658°		 ← 47.78 m → S 81.000460°
E149.139404°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
S 81.000890°
E149.136658°		 ← 47.77 m →
2 283 m²		 S 81.000890°
E149.139404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914272308349609 y=0.904598236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914272308349609 × 217)
    floor (0.914272308349609 × 131072)
    floor (119835.5)     		tx = 119835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904598236083984 × 217)
    floor (0.904598236083984 × 131072)
    floor (118567.5)     		ty = 118567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119835 / 118567 ti = "17/119835/118567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119835/118567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119835 ÷ 217
    119835 ÷ 131072     		x = 0.914268493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118567 ÷ 217
    118567 ÷ 131072     		y = 0.904594421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914268493652344 × 2 - 1) × π
    0.828536987304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60292571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904594421386719 × 2 - 1) × π
    -0.809188842773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.5421417237512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60292571} λ = 2.60292571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5421417237512))-π/2
    2×atan(0.0786976704993337)-π/2
    2×0.0785358048601247-π/2
    0.157071609720249-1.57079632675     		φ = -1.41372472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60292571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.136658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41372472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.000460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119835 KachelY 118567 2.60292571 -1.41372472 149.136658 -81.000460
    Oben rechts KachelX + 1 119836 KachelY 118567 2.60297365 -1.41372472 149.139404 -81.000460
    Unten links KachelX 119835 KachelY + 1 118568 2.60292571 -1.41373222 149.136658 -81.000890
    Unten rechts KachelX + 1 119836 KachelY + 1 118568 2.60297365 -1.41373222 149.139404 -81.000890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41372472--1.41373222) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41372472--1.41373222) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60292571-2.60297365) × cos(-1.41372472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156426537962557 × 6371000     		do = 47.7766911128207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60292571-2.60297365) × cos(-1.41373222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156419130286187 × 6371000     		du = 47.7744286177837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41372472)-sin(-1.41373222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156426537962557-0.156419130286187)×R²
    abs(2.60297365-2.60292571)×7.40767637003037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40767637003037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40767637003037e-06×40589641000000     		ar = 2282.83568923758m²