Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119830 / 117763
↖ ↑ ↗
← S 80.648374°
E149.122925°		 ← 49.62 m → S 80.648374°
E149.125671°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
S 80.648820°
E149.122925°		 ← 49.62 m →
2 463 m²		 S 80.648820°
E149.125671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914234161376953 y=0.898464202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914234161376953 × 217)
    floor (0.914234161376953 × 131072)
    floor (119830.5)     		tx = 119830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898464202880859 × 217)
    floor (0.898464202880859 × 131072)
    floor (117763.5)     		ty = 117763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119830 / 117763 ti = "17/119830/117763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119830/117763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119830 ÷ 217
    119830 ÷ 131072     		x = 0.914230346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117763 ÷ 217
    117763 ÷ 131072     		y = 0.898460388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914230346679688 × 2 - 1) × π
    0.828460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60268603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898460388183594 × 2 - 1) × π
    -0.796920776367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.50360045645667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60268603} λ = 2.60268603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50360045645667))-π/2
    2×atan(0.0817899865683313)-π/2
    2×0.0816083343050086-π/2
    0.163216668610017-1.57079632675     		φ = -1.40757966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60268603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.122925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40757966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.648374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119830 KachelY 117763 2.60268603 -1.40757966 149.122925 -80.648374
    Oben rechts KachelX + 1 119831 KachelY 117763 2.60273396 -1.40757966 149.125671 -80.648374
    Unten links KachelX 119830 KachelY + 1 117764 2.60268603 -1.40758745 149.122925 -80.648820
    Unten rechts KachelX + 1 119831 KachelY + 1 117764 2.60273396 -1.40758745 149.125671 -80.648820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40757966--1.40758745) × R
    7.79000000017405e-06 × 6371000     		dl = 49.6300900011089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40757966--1.40758745) × R
    7.79000000017405e-06 × 6371000     		dr = 49.6300900011089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60268603-2.60273396) × cos(-1.40757966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162492958131767 × 6371000     		do = 49.6191795558518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60268603-2.60273396) × cos(-1.40758745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162485271658248 × 6371000     		du = 49.6168323986944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40757966)-sin(-1.40758745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162492958131767-0.162485271658248)×R²
    abs(2.60273396-2.60268603)×7.68647351906404e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.68647351906404e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.68647351906404e-06×40589641000000     		ar = 2462.5461021811m²