Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119826 / 119472
↖ ↑ ↗
← S 81.381067°
E149.111938°		 ← 45.77 m → S 81.381067°
E149.114685°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.381479°
E149.111938°		 ← 45.77 m →
2 094 m²		 S 81.381479°
E149.114685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914203643798828 y=0.911502838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914203643798828 × 217)
    floor (0.914203643798828 × 131072)
    floor (119826.5)     		tx = 119826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911502838134766 × 217)
    floor (0.911502838134766 × 131072)
    floor (119472.5)     		ty = 119472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119826 / 119472 ti = "17/119826/119472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119826/119472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119826 ÷ 217
    119826 ÷ 131072     		x = 0.914199829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119472 ÷ 217
    119472 ÷ 131072     		y = 0.9114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914199829101562 × 2 - 1) × π
    0.828399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60249428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58552461790735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60249428} λ = 2.60249428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58552461790735))-π/2
    2×atan(0.0753565358412144)-π/2
    2×0.075214379813709-π/2
    0.150428759627418-1.57079632675     		φ = -1.42036757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60249428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.111938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42036757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.381067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119826 KachelY 119472 2.60249428 -1.42036757 149.111938 -81.381067
    Oben rechts KachelX + 1 119827 KachelY 119472 2.60254222 -1.42036757 149.114685 -81.381067
    Unten links KachelX 119826 KachelY + 1 119473 2.60249428 -1.42037475 149.111938 -81.381479
    Unten rechts KachelX + 1 119827 KachelY + 1 119473 2.60254222 -1.42037475 149.114685 -81.381479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42036757--1.42037475) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42036757--1.42037475) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60249428-2.60254222) × cos(-1.42036757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149862061043088 × 6371000     		do = 45.7717308919804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60249428-2.60254222) × cos(-1.42037475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14985496212358 × 6371000     		du = 45.7695626992363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42036757)-sin(-1.42037475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149862061043088-0.14985496212358)×R²
    abs(2.60254222-2.60249428)×7.09891950836927e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.09891950836927e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.09891950836927e-06×40589641000000     		ar = 2093.72239742352m²