Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119823 / 119057
↖ ↑ ↗
← S 81.208559°
E149.103699°		 ← 46.68 m → S 81.208559°
E149.106446°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.208979°
E149.103699°		 ← 46.68 m →
2 180 m²		 S 81.208979°
E149.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914180755615234 y=0.908336639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914180755615234 × 217)
    floor (0.914180755615234 × 131072)
    floor (119823.5)     		tx = 119823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908336639404297 × 217)
    floor (0.908336639404297 × 131072)
    floor (119057.5)     		ty = 119057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119823 / 119057 ti = "17/119823/119057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119823/119057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119823 ÷ 217
    119823 ÷ 131072     		x = 0.914176940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119057 ÷ 217
    119057 ÷ 131072     		y = 0.908332824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914176940917969 × 2 - 1) × π
    0.828353881835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60235047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908332824707031 × 2 - 1) × π
    -0.816665649414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.56563080456503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60235047} λ = 2.60235047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56563080456503))-π/2
    2×atan(0.0768706757714506)-π/2
    2×0.0767197981515224-π/2
    0.153439596303045-1.57079632675     		φ = -1.41735673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60235047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.103699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41735673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.208559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119823 KachelY 119057 2.60235047 -1.41735673 149.103699 -81.208559
    Oben rechts KachelX + 1 119824 KachelY 119057 2.60239841 -1.41735673 149.106446 -81.208559
    Unten links KachelX 119823 KachelY + 1 119058 2.60235047 -1.41736406 149.103699 -81.208979
    Unten rechts KachelX + 1 119824 KachelY + 1 119058 2.60239841 -1.41736406 149.106446 -81.208979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41735673--1.41736406) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41735673--1.41736406) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60235047-2.60239841) × cos(-1.41735673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152838215610695 × 6371000     		do = 46.6807251031455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60235047-2.60239841) × cos(-1.41736406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152830971725124 × 6371000     		du = 46.6785126340346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41735673)-sin(-1.41736406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152838215610695-0.152830971725124)×R²
    abs(2.60239841-2.60235047)×7.24388557063471e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24388557063471e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24388557063471e-06×40589641000000     		ar = 2179.91159380406m²