Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119818 / 117957
↖ ↑ ↗
← S 80.734560°
E149.089966°		 ← 49.17 m → S 80.734560°
E149.092712°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.735002°
E149.089966°		 ← 49.16 m →
2 418 m²		 S 80.735002°
E149.092712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914142608642578 y=0.899944305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914142608642578 × 217)
    floor (0.914142608642578 × 131072)
    floor (119818.5)     		tx = 119818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899944305419922 × 217)
    floor (0.899944305419922 × 131072)
    floor (117957.5)     		ty = 117957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119818 / 117957 ti = "17/119818/117957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119818/117957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119818 ÷ 217
    119818 ÷ 131072     		x = 0.914138793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117957 ÷ 217
    117957 ÷ 131072     		y = 0.899940490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914138793945312 × 2 - 1) × π
    0.828277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60211079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899940490722656 × 2 - 1) × π
    -0.799880981445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.51290021498296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60211079} λ = 2.60211079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51290021498296))-π/2
    2×atan(0.0810328853292449)-π/2
    2×0.080856217993863-π/2
    0.161712435987726-1.57079632675     		φ = -1.40908389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60211079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40908389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.734560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119818 KachelY 117957 2.60211079 -1.40908389 149.089966 -80.734560
    Oben rechts KachelX + 1 119819 KachelY 117957 2.60215872 -1.40908389 149.092712 -80.734560
    Unten links KachelX 119818 KachelY + 1 117958 2.60211079 -1.40909161 149.089966 -80.735002
    Unten rechts KachelX + 1 119819 KachelY + 1 117958 2.60215872 -1.40909161 149.092712 -80.735002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40908389--1.40909161) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40908389--1.40909161) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60211079-2.60215872) × cos(-1.40908389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161008536517512 × 6371000     		do = 49.1658935583467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60211079-2.60215872) × cos(-1.40909161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161000917235449 × 6371000     		du = 49.1635669189087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40908389)-sin(-1.40909161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161008536517512-0.161000917235449)×R²
    abs(2.60215872-2.60211079)×7.61928206324813e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.61928206324813e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.61928206324813e-06×40589641000000     		ar = 2418.12399186921m²