Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119816 / 118222
↖ ↑ ↗
← S 80.851018°
E149.084473°		 ← 48.56 m → S 80.851018°
E149.087219°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.851454°
E149.084473°		 ← 48.56 m →
2 358 m²		 S 80.851454°
E149.087219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914127349853516 y=0.901966094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914127349853516 × 217)
    floor (0.914127349853516 × 131072)
    floor (119816.5)     		tx = 119816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901966094970703 × 217)
    floor (0.901966094970703 × 131072)
    floor (118222.5)     		ty = 118222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119816 / 118222 ti = "17/119816/118222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119816/118222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119816 ÷ 217
    119816 ÷ 131072     		x = 0.91412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118222 ÷ 217
    118222 ÷ 131072     		y = 0.901962280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91412353515625 × 2 - 1) × π
    0.8282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60201491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901962280273438 × 2 - 1) × π
    -0.803924560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52560349338228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60201491} λ = 2.60201491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52560349338228))-π/2
    2×atan(0.0800100127006145)-π/2
    2×0.079839934731161-π/2
    0.159679869462322-1.57079632675     		φ = -1.41111646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60201491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41111646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.851018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119816 KachelY 118222 2.60201491 -1.41111646 149.084473 -80.851018
    Oben rechts KachelX + 1 119817 KachelY 118222 2.60206285 -1.41111646 149.087219 -80.851018
    Unten links KachelX 119816 KachelY + 1 118223 2.60201491 -1.41112408 149.084473 -80.851454
    Unten rechts KachelX + 1 119817 KachelY + 1 118223 2.60206285 -1.41112408 149.087219 -80.851454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41111646--1.41112408) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41111646--1.41112408) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60201491-2.60206285) × cos(-1.41111646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159002154221367 × 6371000     		do = 48.5633506146234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60201491-2.60206285) × cos(-1.41112408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158994631156594 × 6371000     		du = 48.5610528769979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41111646)-sin(-1.41112408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159002154221367-0.158994631156594)×R²
    abs(2.60206285-2.60201491)×7.52306477327935e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52306477327935e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52306477327935e-06×40589641000000     		ar = 2357.550179507m²