Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119814 / 118221
↖ ↑ ↗
← S 80.850581°
E149.078980°		 ← 48.56 m → S 80.850581°
E149.081726°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.851018°
E149.078980°		 ← 48.55 m →
2 357 m²		 S 80.851018°
E149.081726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914112091064453 y=0.901958465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914112091064453 × 217)
    floor (0.914112091064453 × 131072)
    floor (119814.5)     		tx = 119814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901958465576172 × 217)
    floor (0.901958465576172 × 131072)
    floor (118221.5)     		ty = 118221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119814 / 118221 ti = "17/119814/118221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119814/118221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119814 ÷ 217
    119814 ÷ 131072     		x = 0.914108276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118221 ÷ 217
    118221 ÷ 131072     		y = 0.901954650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914108276367188 × 2 - 1) × π
    0.828216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60191904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901954650878906 × 2 - 1) × π
    -0.803909301757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.52555555648266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60191904} λ = 2.60191904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52555555648266))-π/2
    2×atan(0.0800138482244927)-π/2
    2×0.0798437458565612-π/2
    0.159687491713122-1.57079632675     		φ = -1.41110884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60191904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.078980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41110884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.850581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119814 KachelY 118221 2.60191904 -1.41110884 149.078980 -80.850581
    Oben rechts KachelX + 1 119815 KachelY 118221 2.60196697 -1.41110884 149.081726 -80.850581
    Unten links KachelX 119814 KachelY + 1 118222 2.60191904 -1.41111646 149.078980 -80.851018
    Unten rechts KachelX + 1 119815 KachelY + 1 118222 2.60196697 -1.41111646 149.081726 -80.851018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41110884--1.41111646) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dl = 48.5470199992033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41110884--1.41111646) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dr = 48.5470199992033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60191904-2.60196697) × cos(-1.41110884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159009677276908 × 6371000     		do = 48.5555178429512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60191904-2.60196697) × cos(-1.41111646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159002154221367 × 6371000     		du = 48.5532205874395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41110884)-sin(-1.41111646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159009677276908-0.159002154221367)×R²
    abs(2.60196697-2.60191904)×7.52305554069244e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.52305554069244e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.52305554069244e-06×40589641000000     		ar = 2357.16993323427m²