Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119813 / 118057
↖ ↑ ↗
← S 80.778678°
E149.076233°		 ← 48.94 m → S 80.778678°
E149.078980°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.779118°
E149.076233°		 ← 48.94 m →
2 395 m²		 S 80.779118°
E149.078980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914104461669922 y=0.900707244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914104461669922 × 217)
    floor (0.914104461669922 × 131072)
    floor (119813.5)     		tx = 119813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900707244873047 × 217)
    floor (0.900707244873047 × 131072)
    floor (118057.5)     		ty = 118057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119813 / 118057 ti = "17/119813/118057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119813/118057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119813 ÷ 217
    119813 ÷ 131072     		x = 0.914100646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118057 ÷ 217
    118057 ÷ 131072     		y = 0.900703430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914100646972656 × 2 - 1) × π
    0.828201293945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.60187110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900703430175781 × 2 - 1) × π
    -0.801406860351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.51769390494497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60187110} λ = 2.60187110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51769390494497))-π/2
    2×atan(0.0806453683604289)-π/2
    2×0.0804712169975559-π/2
    0.160942433995112-1.57079632675     		φ = -1.40985389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60187110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.076233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40985389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.778678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119813 KachelY 118057 2.60187110 -1.40985389 149.076233 -80.778678
    Oben rechts KachelX + 1 119814 KachelY 118057 2.60191904 -1.40985389 149.078980 -80.778678
    Unten links KachelX 119813 KachelY + 1 118058 2.60187110 -1.40986157 149.076233 -80.779118
    Unten rechts KachelX + 1 119814 KachelY + 1 118058 2.60191904 -1.40986157 149.078980 -80.779118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40985389--1.40986157) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40985389--1.40986157) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60187110-2.60191904) × cos(-1.40985389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160248535041113 × 6371000     		do = 48.9440273988158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60187110-2.60191904) × cos(-1.40986157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16024095428735 × 6371000     		du = 48.9417120414878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40985389)-sin(-1.40986157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160248535041113-0.16024095428735)×R²
    abs(2.60191904-2.60187110)×7.58075376364187e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58075376364187e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58075376364187e-06×40589641000000     		ar = 2394.73937645063m²