Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119804 / 118039
↖ ↑ ↗
← S 80.770752°
E149.051514°		 ← 48.99 m → S 80.770752°
E149.054261°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.771193°
E149.051514°		 ← 48.98 m →
2 400 m²		 S 80.771193°
E149.054261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914035797119141 y=0.900569915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914035797119141 × 217)
    floor (0.914035797119141 × 131072)
    floor (119804.5)     		tx = 119804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900569915771484 × 217)
    floor (0.900569915771484 × 131072)
    floor (118039.5)     		ty = 118039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119804 / 118039 ti = "17/119804/118039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119804/118039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119804 ÷ 217
    119804 ÷ 131072     		x = 0.914031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118039 ÷ 217
    118039 ÷ 131072     		y = 0.900566101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914031982421875 × 2 - 1) × π
    0.82806396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60143967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900566101074219 × 2 - 1) × π
    -0.801132202148438 × 3.1415926535     		Φ = -2.51683104075181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60143967} λ = 2.60143967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51683104075181))-π/2
    2×atan(0.0807149843914023)-π/2
    2×0.0805403828081235-π/2
    0.161080765616247-1.57079632675     		φ = -1.40971556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60143967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40971556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.770752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119804 KachelY 118039 2.60143967 -1.40971556 149.051514 -80.770752
    Oben rechts KachelX + 1 119805 KachelY 118039 2.60148761 -1.40971556 149.054261 -80.770752
    Unten links KachelX 119804 KachelY + 1 118040 2.60143967 -1.40972325 149.051514 -80.771193
    Unten rechts KachelX + 1 119805 KachelY + 1 118040 2.60148761 -1.40972325 149.054261 -80.771193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40971556--1.40972325) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40971556--1.40972325) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60143967-2.60148761) × cos(-1.40971556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160385075827069 × 6371000     		do = 48.9857304694065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60143967-2.60148761) × cos(-1.40972325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16037748537306 × 6371000     		du = 48.9834121493739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40971556)-sin(-1.40972325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160385075827069-0.16037748537306)×R²
    abs(2.60148761-2.60143967)×7.59045400891556e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59045400891556e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59045400891556e-06×40589641000000     		ar = 2399.9006123319m²