Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119803 / 118615
↖ ↑ ↗
← S 81.021059°
E149.048767°		 ← 47.67 m → S 81.021059°
E149.051514°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.021487°
E149.048767°		 ← 47.67 m →
2 272 m²		 S 81.021487°
E149.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914028167724609 y=0.904964447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914028167724609 × 217)
    floor (0.914028167724609 × 131072)
    floor (119803.5)     		tx = 119803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904964447021484 × 217)
    floor (0.904964447021484 × 131072)
    floor (118615.5)     		ty = 118615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119803 / 118615 ti = "17/119803/118615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119803/118615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119803 ÷ 217
    119803 ÷ 131072     		x = 0.914024353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118615 ÷ 217
    118615 ÷ 131072     		y = 0.904960632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914024353027344 × 2 - 1) × π
    0.828048706054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60139173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904960632324219 × 2 - 1) × π
    -0.809921264648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.54444269493296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60139173} λ = 2.60139173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54444269493296))-π/2
    2×atan(0.0785167975989107)-π/2
    2×0.0783560427278759-π/2
    0.156712085455752-1.57079632675     		φ = -1.41408424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60139173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.048767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41408424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.021059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119803 KachelY 118615 2.60139173 -1.41408424 149.048767 -81.021059
    Oben rechts KachelX + 1 119804 KachelY 118615 2.60143967 -1.41408424 149.051514 -81.021059
    Unten links KachelX 119803 KachelY + 1 118616 2.60139173 -1.41409172 149.048767 -81.021487
    Unten rechts KachelX + 1 119804 KachelY + 1 118616 2.60143967 -1.41409172 149.051514 -81.021487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41408424--1.41409172) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dl = 47.6550800003801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41408424--1.41409172) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dr = 47.6550800003801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60139173-2.60143967) × cos(-1.41408424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156071433697194 × 6371000     		do = 47.6682331297951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60139173-2.60143967) × cos(-1.41409172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156064045354463 × 6371000     		du = 47.6659765397491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41408424)-sin(-1.41409172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156071433697194-0.156064045354463)×R²
    abs(2.60143967-2.60139173)×7.38834273114608e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38834273114608e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38834273114608e-06×40589641000000     		ar = 2271.57969425795m²