Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1198 / 927
↖ ↑ ↗
← N 79.943595°
W127.353516°		 ← 853.27 m → N 79.943595°
W127.309570°		 →
↑
853.59 m
↓
↑
853.59 m
↓
N 79.935918°
W127.353516°		 ← 853.91 m →
728 613 m²		 N 79.935918°
W127.309570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14630126953125 y=0.11322021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14630126953125 × 213)
    floor (0.14630126953125 × 8192)
    floor (1198.5)     		tx = 1198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11322021484375 × 213)
    floor (0.11322021484375 × 8192)
    floor (927.5)     		ty = 927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1198 / 927 ti = "13/1198/927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1198/927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1198 ÷ 213
    1198 ÷ 8192     		x = 0.146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 927 ÷ 213
    927 ÷ 8192     		y = 0.1131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    -0.70751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22273816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1131591796875 × 2 - 1) × π
    0.773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43059255833533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22273816} λ = -2.22273816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43059255833533))-π/2
    2×atan(11.3656148748478)-π/2
    2×1.48303763569353-π/2
    2.96607527138707-1.57079632675     		φ = 1.39527894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22273816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.353516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39527894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.943595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1198 KachelY 927 -2.22273816 1.39527894 -127.353516 79.943595
    Oben rechts KachelX + 1 1199 KachelY 927 -2.22197117 1.39527894 -127.309570 79.943595
    Unten links KachelX 1198 KachelY + 1 928 -2.22273816 1.39514496 -127.353516 79.935918
    Unten rechts KachelX + 1 1199 KachelY + 1 928 -2.22197117 1.39514496 -127.309570 79.935918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39527894-1.39514496) × R
    0.000133979999999978 × 6371000     		dl = 853.58657999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39527894-1.39514496) × R
    0.000133979999999978 × 6371000     		dr = 853.58657999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22273816--2.22197117) × cos(1.39527894) × R
    0.000766989999999801 × 0.174617598775255 × 6371000     		do = 853.267724730972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22273816--2.22197117) × cos(1.39514496) × R
    0.000766989999999801 × 0.174749518782549 × 6371000     		du = 853.912350961435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39527894)-sin(1.39514496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174617598775255-0.174749518782549)×R²
    abs(-2.22197117--2.22273816)×0.000131920007294811×R²
    0.000766989999999801×0.000131920007294811×6371000²
    0.000766989999999801×0.000131920007294811×40589641000000     		ar = 728613.002216874m²