Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119795 / 119017
↖ ↑ ↗
← S 81.191752°
E149.026795°		 ← 46.76 m → S 81.191752°
E149.029541°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.192172°
E149.026795°		 ← 46.76 m →
2 187 m²		 S 81.192172°
E149.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913967132568359 y=0.908031463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913967132568359 × 217)
    floor (0.913967132568359 × 131072)
    floor (119795.5)     		tx = 119795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908031463623047 × 217)
    floor (0.908031463623047 × 131072)
    floor (119017.5)     		ty = 119017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119795 / 119017 ti = "17/119795/119017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119795/119017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119795 ÷ 217
    119795 ÷ 131072     		x = 0.913963317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119017 ÷ 217
    119017 ÷ 131072     		y = 0.908027648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913963317871094 × 2 - 1) × π
    0.827926635742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60100824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908027648925781 × 2 - 1) × π
    -0.816055297851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.56371332858022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60100824} λ = 2.60100824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56371332858022))-π/2
    2×atan(0.0770182148522951)-π/2
    2×0.0768664688757604-π/2
    0.153732937751521-1.57079632675     		φ = -1.41706339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60100824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41706339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.191752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119795 KachelY 119017 2.60100824 -1.41706339 149.026795 -81.191752
    Oben rechts KachelX + 1 119796 KachelY 119017 2.60105617 -1.41706339 149.029541 -81.191752
    Unten links KachelX 119795 KachelY + 1 119018 2.60100824 -1.41707073 149.026795 -81.192172
    Unten rechts KachelX + 1 119796 KachelY + 1 119018 2.60105617 -1.41707073 149.029541 -81.192172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41706339--1.41707073) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41706339--1.41707073) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60100824-2.60105617) × cos(-1.41706339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153128102644567 × 6371000     		do = 46.759508273622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60100824-2.60105617) × cos(-1.41707073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153120849205855 × 6371000     		du = 46.7572933488525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41706339)-sin(-1.41707073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153128102644567-0.153120849205855)×R²
    abs(2.60105617-2.60100824)×7.25343871160744e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.25343871160744e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.25343871160744e-06×40589641000000     		ar = 2186.56964346288m²