Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119795 / 118215
↖ ↑ ↗
← S 80.847960°
E149.026795°		 ← 48.57 m → S 80.847960°
E149.029541°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
S 80.848397°
E149.026795°		 ← 48.57 m →
2 361 m²		 S 80.848397°
E149.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913967132568359 y=0.901912689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913967132568359 × 217)
    floor (0.913967132568359 × 131072)
    floor (119795.5)     		tx = 119795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901912689208984 × 217)
    floor (0.901912689208984 × 131072)
    floor (118215.5)     		ty = 118215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119795 / 118215 ti = "17/119795/118215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119795/118215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119795 ÷ 217
    119795 ÷ 131072     		x = 0.913963317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118215 ÷ 217
    118215 ÷ 131072     		y = 0.901908874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913963317871094 × 2 - 1) × π
    0.827926635742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60100824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901908874511719 × 2 - 1) × π
    -0.803817749023438 × 3.1415926535     		Φ = -2.52526793508494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60100824} λ = 2.60100824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52526793508494))-π/2
    2×atan(0.0800368652292889)-π/2
    2×0.0798666163970947-π/2
    0.159733232794189-1.57079632675     		φ = -1.41106309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60100824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41106309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.847960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119795 KachelY 118215 2.60100824 -1.41106309 149.026795 -80.847960
    Oben rechts KachelX + 1 119796 KachelY 118215 2.60105617 -1.41106309 149.029541 -80.847960
    Unten links KachelX 119795 KachelY + 1 118216 2.60100824 -1.41107072 149.026795 -80.848397
    Unten rechts KachelX + 1 119796 KachelY + 1 118216 2.60105617 -1.41107072 149.029541 -80.848397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41106309--1.41107072) × R
    7.62999999981417e-06 × 6371000     		dl = 48.6107299988161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41106309--1.41107072) × R
    7.62999999981417e-06 × 6371000     		dr = 48.6107299988161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60100824-2.60105617) × cos(-1.41106309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159054845034341 × 6371000     		do = 48.5693103610516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60100824-2.60105617) × cos(-1.41107072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159047312161531 × 6371000     		du = 48.5670101077184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41106309)-sin(-1.41107072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159054845034341-0.159047312161531)×R²
    abs(2.60105617-2.60100824)×7.53287281052284e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.53287281052284e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.53287281052284e-06×40589641000000     		ar = 2360.93372375954m²