Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119791 / 118055
↖ ↑ ↗
← S 80.777798°
E149.015808°		 ← 48.95 m → S 80.777798°
E149.018555°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.778238°
E149.015808°		 ← 48.95 m →
2 395 m²		 S 80.778238°
E149.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913936614990234 y=0.900691986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913936614990234 × 217)
    floor (0.913936614990234 × 131072)
    floor (119791.5)     		tx = 119791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900691986083984 × 217)
    floor (0.900691986083984 × 131072)
    floor (118055.5)     		ty = 118055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119791 / 118055 ti = "17/119791/118055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119791/118055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119791 ÷ 217
    119791 ÷ 131072     		x = 0.913932800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118055 ÷ 217
    118055 ÷ 131072     		y = 0.900688171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913932800292969 × 2 - 1) × π
    0.827865600585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60081649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900688171386719 × 2 - 1) × π
    -0.801376342773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.51759803114573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60081649} λ = 2.60081649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51759803114573))-π/2
    2×atan(0.080653100508934)-π/2
    2×0.0804788991788567-π/2
    0.160957798357713-1.57079632675     		φ = -1.40983853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60081649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.015808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40983853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.777798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119791 KachelY 118055 2.60081649 -1.40983853 149.015808 -80.777798
    Oben rechts KachelX + 1 119792 KachelY 118055 2.60086443 -1.40983853 149.018555 -80.777798
    Unten links KachelX 119791 KachelY + 1 118056 2.60081649 -1.40984621 149.015808 -80.778238
    Unten rechts KachelX + 1 119792 KachelY + 1 118056 2.60086443 -1.40984621 149.018555 -80.778238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40983853--1.40984621) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40983853--1.40984621) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60081649-2.60086443) × cos(-1.40983853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160263696520285 × 6371000     		do = 48.9486581048112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60081649-2.60086443) × cos(-1.40984621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160256115785425 × 6371000     		du = 48.946342753257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40983853)-sin(-1.40984621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160263696520285-0.160256115785425)×R²
    abs(2.60086443-2.60081649)×7.5807348595136e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5807348595136e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5807348595136e-06×40589641000000     		ar = 2394.96595383682m²