Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119789 / 118286
↖ ↑ ↗
← S 80.878925°
E149.010315°		 ← 48.41 m → S 80.878925°
E149.013061°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.879360°
E149.010315°		 ← 48.40 m →
2 344 m²		 S 80.879360°
E149.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913921356201172 y=0.902454376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913921356201172 × 217)
    floor (0.913921356201172 × 131072)
    floor (119789.5)     		tx = 119789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902454376220703 × 217)
    floor (0.902454376220703 × 131072)
    floor (118286.5)     		ty = 118286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119789 / 118286 ti = "17/119789/118286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119789/118286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119789 ÷ 217
    119789 ÷ 131072     		x = 0.913917541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118286 ÷ 217
    118286 ÷ 131072     		y = 0.902450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913917541503906 × 2 - 1) × π
    0.827835083007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60072062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.804901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52867145495796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60072062} λ = 2.60072062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52867145495796))-π/2
    2×atan(0.0797649212138523)-π/2
    2×0.0795963975019802-π/2
    0.15919279500396-1.57079632675     		φ = -1.41160353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60072062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.010315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41160353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.878925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119789 KachelY 118286 2.60072062 -1.41160353 149.010315 -80.878925
    Oben rechts KachelX + 1 119790 KachelY 118286 2.60076855 -1.41160353 149.013061 -80.878925
    Unten links KachelX 119789 KachelY + 1 118287 2.60072062 -1.41161113 149.010315 -80.879360
    Unten rechts KachelX + 1 119790 KachelY + 1 118287 2.60076855 -1.41161113 149.013061 -80.879360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41160353--1.41161113) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41160353--1.41161113) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60072062-2.60076855) × cos(-1.41160353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158521261769441 × 6371000     		do = 48.4063742921076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60072062-2.60076855) × cos(-1.41161113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158513757862578 × 6371000     		du = 48.4040828838748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41160353)-sin(-1.41161113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158521261769441-0.158513757862578)×R²
    abs(2.60076855-2.60072062)×7.50390686368729e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50390686368729e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50390686368729e-06×40589641000000     		ar = 2343.76180620087m²