Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119788 / 118381
↖ ↑ ↗
← S 80.920194°
E149.007568°		 ← 48.20 m → S 80.920194°
E149.010315°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.920627°
E149.007568°		 ← 48.20 m →
2 321 m²		 S 80.920627°
E149.010315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913913726806641 y=0.903179168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913913726806641 × 217)
    floor (0.913913726806641 × 131072)
    floor (119788.5)     		tx = 119788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903179168701172 × 217)
    floor (0.903179168701172 × 131072)
    floor (118381.5)     		ty = 118381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119788 / 118381 ti = "17/119788/118381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119788/118381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119788 ÷ 217
    119788 ÷ 131072     		x = 0.913909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118381 ÷ 217
    118381 ÷ 131072     		y = 0.903175354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913909912109375 × 2 - 1) × π
    0.82781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60067268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903175354003906 × 2 - 1) × π
    -0.806350708007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.53322546042187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60067268} λ = 2.60067268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53322546042187))-π/2
    2×atan(0.0794024971936586)-π/2
    2×0.0792362544755343-π/2
    0.158472508951069-1.57079632675     		φ = -1.41232382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60067268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41232382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.920194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119788 KachelY 118381 2.60067268 -1.41232382 149.007568 -80.920194
    Oben rechts KachelX + 1 119789 KachelY 118381 2.60072062 -1.41232382 149.010315 -80.920194
    Unten links KachelX 119788 KachelY + 1 118382 2.60067268 -1.41233138 149.007568 -80.920627
    Unten rechts KachelX + 1 119789 KachelY + 1 118382 2.60072062 -1.41233138 149.010315 -80.920627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41232382--1.41233138) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41232382--1.41233138) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60067268-2.60072062) × cos(-1.41232382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157810038369999 × 6371000     		do = 48.1992477485538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60067268-2.60072062) × cos(-1.41233138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157802573096153 × 6371000     		du = 48.1969676617649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41232382)-sin(-1.41233138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157810038369999-0.157802573096153)×R²
    abs(2.60072062-2.60067268)×7.46527384681839e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46527384681839e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46527384681839e-06×40589641000000     		ar = 2321.45029011496m²