Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119787 / 118288
↖ ↑ ↗
← S 80.879796°
E149.004822°		 ← 48.41 m → S 80.879796°
E149.007568°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.880231°
E149.004822°		 ← 48.41 m →
2 344 m²		 S 80.880231°
E149.007568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913906097412109 y=0.902469635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913906097412109 × 217)
    floor (0.913906097412109 × 131072)
    floor (119787.5)     		tx = 119787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902469635009766 × 217)
    floor (0.902469635009766 × 131072)
    floor (118288.5)     		ty = 118288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119787 / 118288 ti = "17/119787/118288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119787/118288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119787 ÷ 217
    119787 ÷ 131072     		x = 0.913902282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118288 ÷ 217
    118288 ÷ 131072     		y = 0.9024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913902282714844 × 2 - 1) × π
    0.827804565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60062474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.804931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5287673287572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60062474} λ = 2.60062474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5287673287572))-π/2
    2×atan(0.0797572742143887)-π/2
    2×0.0795887988439081-π/2
    0.159177597687816-1.57079632675     		φ = -1.41161873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60062474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.004822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41161873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.879796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119787 KachelY 118288 2.60062474 -1.41161873 149.004822 -80.879796
    Oben rechts KachelX + 1 119788 KachelY 118288 2.60067268 -1.41161873 149.007568 -80.879796
    Unten links KachelX 119787 KachelY + 1 118289 2.60062474 -1.41162633 149.004822 -80.880231
    Unten rechts KachelX + 1 119788 KachelY + 1 118289 2.60067268 -1.41162633 149.007568 -80.880231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41161873--1.41162633) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41161873--1.41162633) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60062474-2.60067268) × cos(-1.41161873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158506253946558 × 6371000     		do = 48.4118899062237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60062474-2.60067268) × cos(-1.41162633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158498750021383 × 6371000     		du = 48.4095980143243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41161873)-sin(-1.41162633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158506253946558-0.158498750021383)×R²
    abs(2.60067268-2.60062474)×7.50392517473442e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50392517473442e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50392517473442e-06×40589641000000     		ar = 2344.02885828935m²