Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119786 / 118507
↖ ↑ ↗
← S 80.974645°
E149.002075°		 ← 47.91 m → S 80.974645°
E149.004822°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.975076°
E149.002075°		 ← 47.91 m →
2 295 m²		 S 80.975076°
E149.004822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913898468017578 y=0.904140472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913898468017578 × 217)
    floor (0.913898468017578 × 131072)
    floor (119786.5)     		tx = 119786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904140472412109 × 217)
    floor (0.904140472412109 × 131072)
    floor (118507.5)     		ty = 118507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119786 / 118507 ti = "17/119786/118507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119786/118507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119786 ÷ 217
    119786 ÷ 131072     		x = 0.913894653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118507 ÷ 217
    118507 ÷ 131072     		y = 0.904136657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913894653320312 × 2 - 1) × π
    0.827789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60057680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904136657714844 × 2 - 1) × π
    -0.808273315429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.53926550977399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60057680} λ = 2.60057680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53926550977399))-π/2
    2×atan(0.0789243476689514)-π/2
    2×0.0787610827881327-π/2
    0.157522165576265-1.57079632675     		φ = -1.41327416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60057680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41327416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.974645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119786 KachelY 118507 2.60057680 -1.41327416 149.002075 -80.974645
    Oben rechts KachelX + 1 119787 KachelY 118507 2.60062474 -1.41327416 149.004822 -80.974645
    Unten links KachelX 119786 KachelY + 1 118508 2.60057680 -1.41328168 149.002075 -80.975076
    Unten rechts KachelX + 1 119787 KachelY + 1 118508 2.60062474 -1.41328168 149.004822 -80.975076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41327416--1.41328168) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41327416--1.41328168) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60057680-2.60062474) × cos(-1.41327416) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156871535494283 × 6371000     		do = 47.9126048136901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60057680-2.60062474) × cos(-1.41328168) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156864108594845 × 6371000     		du = 47.9103364474333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41327416)-sin(-1.41328168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156871535494283-0.156864108594845)×R²
    abs(2.60062474-2.60057680)×7.42689943811214e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.42689943811214e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.42689943811214e-06×40589641000000     		ar = 2295.43472516732m²