Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119780 / 118975
↖ ↑ ↗
← S 81.174070°
E148.985596°		 ← 46.86 m → S 81.174070°
E148.988342°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.174491°
E148.985596°		 ← 46.86 m →
2 197 m²		 S 81.174491°
E148.988342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913852691650391 y=0.907711029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913852691650391 × 217)
    floor (0.913852691650391 × 131072)
    floor (119780.5)     		tx = 119780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907711029052734 × 217)
    floor (0.907711029052734 × 131072)
    floor (118975.5)     		ty = 118975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119780 / 118975 ti = "17/119780/118975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119780/118975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119780 ÷ 217
    119780 ÷ 131072     		x = 0.913848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118975 ÷ 217
    118975 ÷ 131072     		y = 0.907707214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913848876953125 × 2 - 1) × π
    0.82769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60028918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907707214355469 × 2 - 1) × π
    -0.815414428710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.56169997879618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60028918} λ = 2.60028918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56169997879618))-π/2
    2×atan(0.0771734356629948)-π/2
    2×0.0770207725412351-π/2
    0.15404154508247-1.57079632675     		φ = -1.41675478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60028918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.985596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41675478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.174070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119780 KachelY 118975 2.60028918 -1.41675478 148.985596 -81.174070
    Oben rechts KachelX + 1 119781 KachelY 118975 2.60033712 -1.41675478 148.988342 -81.174070
    Unten links KachelX 119780 KachelY + 1 118976 2.60028918 -1.41676214 148.985596 -81.174491
    Unten rechts KachelX + 1 119781 KachelY + 1 118976 2.60033712 -1.41676214 148.988342 -81.174491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41675478--1.41676214) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dl = 46.8905599993679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41675478--1.41676214) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dr = 46.8905599993679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60028918-2.60033712) × cos(-1.41675478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153433065708492 × 6371000     		do = 46.8624076344542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60028918-2.60033712) × cos(-1.41676214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15342579285378 × 6371000     		du = 46.8601863174218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41675478)-sin(-1.41676214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153433065708492-0.15342579285378)×R²
    abs(2.60033712-2.60028918)×7.2728547123313e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2728547123313e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2728547123313e-06×40589641000000     		ar = 2197.35245745843m²