Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119780 / 118500
↖ ↑ ↗
← S 80.971628°
E148.985596°		 ← 47.93 m → S 80.971628°
E148.988342°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.972059°
E148.985596°		 ← 47.93 m →
2 299 m²		 S 80.972059°
E148.988342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913852691650391 y=0.904087066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913852691650391 × 217)
    floor (0.913852691650391 × 131072)
    floor (119780.5)     		tx = 119780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904087066650391 × 217)
    floor (0.904087066650391 × 131072)
    floor (118500.5)     		ty = 118500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119780 / 118500 ti = "17/119780/118500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119780/118500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119780 ÷ 217
    119780 ÷ 131072     		x = 0.913848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118500 ÷ 217
    118500 ÷ 131072     		y = 0.904083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913848876953125 × 2 - 1) × π
    0.82769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60028918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.80816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53892995147665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60028918} λ = 2.60028918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53892995147665))-π/2
    2×atan(0.0789508358325869)-π/2
    2×0.078787406922312-π/2
    0.157574813844624-1.57079632675     		φ = -1.41322151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60028918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.985596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41322151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.971628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119780 KachelY 118500 2.60028918 -1.41322151 148.985596 -80.971628
    Oben rechts KachelX + 1 119781 KachelY 118500 2.60033712 -1.41322151 148.988342 -80.971628
    Unten links KachelX 119780 KachelY + 1 118501 2.60028918 -1.41322904 148.985596 -80.972059
    Unten rechts KachelX + 1 119781 KachelY + 1 118501 2.60033712 -1.41322904 148.988342 -80.972059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41322151--1.41322904) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41322151--1.41322904) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60028918-2.60033712) × cos(-1.41322151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156923533418042 × 6371000     		do = 47.9284863175886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60028918-2.60033712) × cos(-1.41322904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156916096704603 × 6371000     		du = 47.9262149538834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41322151)-sin(-1.41322904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156923533418042-0.156916096704603)×R²
    abs(2.60033712-2.60028918)×7.43671343875207e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43671343875207e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43671343875207e-06×40589641000000     		ar = 2299.24898632303m²