Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119779 / 118979
↖ ↑ ↗
← S 81.175755°
E148.982849°		 ← 46.84 m → S 81.175755°
E148.985596°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
S 81.176176°
E148.982849°		 ← 46.84 m →
2 193 m²		 S 81.176176°
E148.985596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913845062255859 y=0.907741546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913845062255859 × 217)
    floor (0.913845062255859 × 131072)
    floor (119779.5)     		tx = 119779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907741546630859 × 217)
    floor (0.907741546630859 × 131072)
    floor (118979.5)     		ty = 118979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119779 / 118979 ti = "17/119779/118979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119779/118979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119779 ÷ 217
    119779 ÷ 131072     		x = 0.913841247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118979 ÷ 217
    118979 ÷ 131072     		y = 0.907737731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913841247558594 × 2 - 1) × π
    0.827682495117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60024125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907737731933594 × 2 - 1) × π
    -0.815475463867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.56189172639466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60024125} λ = 2.60024125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56189172639466))-π/2
    2×atan(0.0771586392606726)-π/2
    2×0.0770060637239972-π/2
    0.154012127447994-1.57079632675     		φ = -1.41678420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60024125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.982849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41678420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.175755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119779 KachelY 118979 2.60024125 -1.41678420 148.982849 -81.175755
    Oben rechts KachelX + 1 119780 KachelY 118979 2.60028918 -1.41678420 148.985596 -81.175755
    Unten links KachelX 119779 KachelY + 1 118980 2.60024125 -1.41679155 148.982849 -81.176176
    Unten rechts KachelX + 1 119780 KachelY + 1 118980 2.60028918 -1.41679155 148.985596 -81.176176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41678420--1.41679155) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41678420--1.41679155) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60024125-2.60028918) × cos(-1.41678420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153403994003049 × 6371000     		do = 46.8437550189077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60024125-2.60028918) × cos(-1.41679155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153396730996765 × 6371000     		du = 46.8415371725647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41678420)-sin(-1.41679155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153403994003049-0.153396730996765)×R²
    abs(2.60028918-2.60024125)×7.26300628464682e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.26300628464682e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.26300628464682e-06×40589641000000     		ar = 2193.49356226802m²