Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119778 / 118894
↖ ↑ ↗
← S 81.139869°
E148.980103°		 ← 47.04 m → S 81.139869°
E148.982849°		 →
↑
47.08 m
↓
↑
47.08 m
↓
S 81.140292°
E148.980103°		 ← 47.04 m →
2 215 m²		 S 81.140292°
E148.982849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913837432861328 y=0.907093048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913837432861328 × 217)
    floor (0.913837432861328 × 131072)
    floor (119778.5)     		tx = 119778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907093048095703 × 217)
    floor (0.907093048095703 × 131072)
    floor (118894.5)     		ty = 118894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119778 / 118894 ti = "17/119778/118894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119778/118894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119778 ÷ 217
    119778 ÷ 131072     		x = 0.913833618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118894 ÷ 217
    118894 ÷ 131072     		y = 0.907089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913833618164062 × 2 - 1) × π
    0.827667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60019331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.814178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55781708992696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60019331} λ = 2.60019331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55781708992696))-π/2
    2×atan(0.0774736740562681)-π/2
    2×0.0773192264963762-π/2
    0.154638452992752-1.57079632675     		φ = -1.41615787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60019331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.980103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41615787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.139869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119778 KachelY 118894 2.60019331 -1.41615787 148.980103 -81.139869
    Oben rechts KachelX + 1 119779 KachelY 118894 2.60024125 -1.41615787 148.982849 -81.139869
    Unten links KachelX 119778 KachelY + 1 118895 2.60019331 -1.41616526 148.980103 -81.140292
    Unten rechts KachelX + 1 119779 KachelY + 1 118895 2.60024125 -1.41616526 148.982849 -81.140292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41615787--1.41616526) × R
    7.39000000016254e-06 × 6371000     		dl = 47.0816900010356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41615787--1.41616526) × R
    7.39000000016254e-06 × 6371000     		dr = 47.0816900010356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60019331-2.60024125) × cos(-1.41615787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15402288035363 × 6371000     		do = 47.042552208908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60019331-2.60024125) × cos(-1.41616526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154015578532215 × 6371000     		du = 47.0403220446991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41615787)-sin(-1.41616526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15402288035363-0.154015578532215)×R²
    abs(2.60024125-2.60019331)×7.30182141447933e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.30182141447933e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.30182141447933e-06×40589641000000     		ar = 2214.79036014151m²