Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119776 / 119520
↖ ↑ ↗
← S 81.400802°
E148.974610°		 ← 45.66 m → S 81.400802°
E148.977356°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
S 81.401212°
E148.974610°		 ← 45.66 m →
2 086 m²		 S 81.401212°
E148.977356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913822174072266 y=0.911869049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913822174072266 × 217)
    floor (0.913822174072266 × 131072)
    floor (119776.5)     		tx = 119776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911869049072266 × 217)
    floor (0.911869049072266 × 131072)
    floor (119520.5)     		ty = 119520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119776 / 119520 ti = "17/119776/119520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119776/119520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119776 ÷ 217
    119776 ÷ 131072     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119520 ÷ 217
    119520 ÷ 131072     		y = 0.911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58782558908911))-π/2
    2×atan(0.0751833419573682)-π/2
    2×0.0750421616432987-π/2
    0.150084323286597-1.57079632675     		φ = -1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119776 KachelY 119520 2.60009744 -1.42071200 148.974610 -81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 119777 KachelY 119520 2.60014537 -1.42071200 148.977356 -81.400802
    Unten links KachelX 119776 KachelY + 1 119521 2.60009744 -1.42071917 148.974610 -81.401212
    Unten rechts KachelX + 1 119777 KachelY + 1 119521 2.60014537 -1.42071917 148.977356 -81.401212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42071200--1.42071917) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42071200--1.42071917) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60014537) × cos(-1.42071200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 45.6581923835674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60014537) × cos(-1.42071917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149514422435968 × 6371000     		du = 45.6560275493528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42071200)-sin(-1.42071917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.149514422435968)×R²
    abs(2.60014537-2.60009744)×7.08940209309672e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.08940209309672e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.08940209309672e-06×40589641000000     		ar = 2085.61997927926m²