Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119775 / 118333
↖ ↑ ↗
← S 80.899365°
E148.971863°		 ← 48.31 m → S 80.899365°
E148.974610°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.899800°
E148.971863°		 ← 48.31 m →
2 333 m²		 S 80.899800°
E148.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913814544677734 y=0.902812957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913814544677734 × 217)
    floor (0.913814544677734 × 131072)
    floor (119775.5)     		tx = 119775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902812957763672 × 217)
    floor (0.902812957763672 × 131072)
    floor (118333.5)     		ty = 118333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119775 / 118333 ti = "17/119775/118333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119775/118333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119775 ÷ 217
    119775 ÷ 131072     		x = 0.913810729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118333 ÷ 217
    118333 ÷ 131072     		y = 0.902809143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913810729980469 × 2 - 1) × π
    0.827621459960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60004950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902809143066406 × 2 - 1) × π
    -0.805618286132812 × 3.1415926535     		Φ = -2.5309244892401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60004950} λ = 2.60004950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5309244892401))-π/2
    2×atan(0.0795854104097784)-π/2
    2×0.0794180190682251-π/2
    0.15883603813645-1.57079632675     		φ = -1.41196029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60004950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.971863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41196029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.899365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119775 KachelY 118333 2.60004950 -1.41196029 148.971863 -80.899365
    Oben rechts KachelX + 1 119776 KachelY 118333 2.60009744 -1.41196029 148.974610 -80.899365
    Unten links KachelX 119775 KachelY + 1 118334 2.60004950 -1.41196787 148.971863 -80.899800
    Unten rechts KachelX + 1 119776 KachelY + 1 118334 2.60009744 -1.41196787 148.974610 -80.899800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41196029--1.41196787) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41196029--1.41196787) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60004950-2.60009744) × cos(-1.41196029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158169002717826 × 6371000     		do = 48.3088847001222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60004950-2.60009744) × cos(-1.41196787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158161518129904 × 6371000     		du = 48.3065987143177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41196029)-sin(-1.41196787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158169002717826-0.158161518129904)×R²
    abs(2.60009744-2.60004950)×7.48458792171336e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48458792171336e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48458792171336e-06×40589641000000     		ar = 2332.88615794377m²