Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119772 / 119001
↖ ↑ ↗
← S 81.185020°
E148.963623°		 ← 46.79 m → S 81.185020°
E148.966369°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.185440°
E148.963623°		 ← 46.79 m →
2 188 m²		 S 81.185440°
E148.966369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913791656494141 y=0.907909393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913791656494141 × 217)
    floor (0.913791656494141 × 131072)
    floor (119772.5)     		tx = 119772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907909393310547 × 217)
    floor (0.907909393310547 × 131072)
    floor (119001.5)     		ty = 119001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119772 / 119001 ti = "17/119772/119001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119772/119001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119772 ÷ 217
    119772 ÷ 131072     		x = 0.913787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119001 ÷ 217
    119001 ÷ 131072     		y = 0.907905578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913787841796875 × 2 - 1) × π
    0.82757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59990569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907905578613281 × 2 - 1) × π
    -0.815811157226562 × 3.1415926535     		Φ = -2.5629463381863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59990569} λ = 2.59990569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5629463381863))-π/2
    2×atan(0.0770773097429535)-π/2
    2×0.076925215028229-π/2
    0.153850430056458-1.57079632675     		φ = -1.41694590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59990569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41694590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.185020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119772 KachelY 119001 2.59990569 -1.41694590 148.963623 -81.185020
    Oben rechts KachelX + 1 119773 KachelY 119001 2.59995362 -1.41694590 148.966369 -81.185020
    Unten links KachelX 119772 KachelY + 1 119002 2.59990569 -1.41695324 148.963623 -81.185440
    Unten rechts KachelX + 1 119773 KachelY + 1 119002 2.59995362 -1.41695324 148.966369 -81.185440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41694590--1.41695324) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41694590--1.41695324) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59990569-2.59995362) × cos(-1.41694590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153244205951122 × 6371000     		do = 46.7949618150014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59990569-2.59995362) × cos(-1.41695324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153236952644512 × 6371000     		du = 46.7927469305706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41694590)-sin(-1.41695324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153244205951122-0.153236952644512)×R²
    abs(2.59995362-2.59990569)×7.25330661058288e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.25330661058288e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.25330661058288e-06×40589641000000     		ar = 2188.22756311119m²