Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119772 / 118989
↖ ↑ ↗
← S 81.179968°
E148.963623°		 ← 46.82 m → S 81.179968°
E148.966369°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
S 81.180389°
E148.963623°		 ← 46.82 m →
2 192 m²		 S 81.180389°
E148.966369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913791656494141 y=0.907817840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913791656494141 × 217)
    floor (0.913791656494141 × 131072)
    floor (119772.5)     		tx = 119772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907817840576172 × 217)
    floor (0.907817840576172 × 131072)
    floor (118989.5)     		ty = 118989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119772 / 118989 ti = "17/119772/118989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119772/118989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119772 ÷ 217
    119772 ÷ 131072     		x = 0.913787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118989 ÷ 217
    118989 ÷ 131072     		y = 0.907814025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913787841796875 × 2 - 1) × π
    0.82757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59990569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907814025878906 × 2 - 1) × π
    -0.815628051757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.56237109539086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59990569} λ = 2.59990569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56237109539086))-π/2
    2×atan(0.0771216606651263)-π/2
    2×0.0769693038717324-π/2
    0.153938607743465-1.57079632675     		φ = -1.41685772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59990569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41685772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.179968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119772 KachelY 118989 2.59990569 -1.41685772 148.963623 -81.179968
    Oben rechts KachelX + 1 119773 KachelY 118989 2.59995362 -1.41685772 148.966369 -81.179968
    Unten links KachelX 119772 KachelY + 1 118990 2.59990569 -1.41686507 148.963623 -81.180389
    Unten rechts KachelX + 1 119773 KachelY + 1 118990 2.59995362 -1.41686507 148.966369 -81.180389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41685772--1.41686507) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41685772--1.41686507) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59990569-2.59995362) × cos(-1.41685772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153331343803843 × 6371000     		do = 46.8215704065982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59990569-2.59995362) × cos(-1.41686507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153324080714685 × 6371000     		du = 46.8193525349488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41685772)-sin(-1.41686507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153331343803843-0.153324080714685)×R²
    abs(2.59995362-2.59990569)×7.26308915827145e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.26308915827145e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.26308915827145e-06×40589641000000     		ar = 2192.45472630758m²