Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119771 / 118988
↖ ↑ ↗
← S 81.179546°
E148.960876°		 ← 46.83 m → S 81.179546°
E148.963623°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
S 81.179968°
E148.960876°		 ← 46.83 m →
2 193 m²		 S 81.179968°
E148.963623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913784027099609 y=0.907810211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913784027099609 × 217)
    floor (0.913784027099609 × 131072)
    floor (119771.5)     		tx = 119771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907810211181641 × 217)
    floor (0.907810211181641 × 131072)
    floor (118988.5)     		ty = 118988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119771 / 118988 ti = "17/119771/118988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119771/118988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119771 ÷ 217
    119771 ÷ 131072     		x = 0.913780212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118988 ÷ 217
    118988 ÷ 131072     		y = 0.907806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913780212402344 × 2 - 1) × π
    0.827560424804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59985775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.81561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56232315849124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59985775} λ = 2.59985775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56232315849124))-π/2
    2×atan(0.0771253577270442)-π/2
    2×0.0769729790734196-π/2
    0.153945958146839-1.57079632675     		φ = -1.41685037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59985775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.960876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41685037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.179546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119771 KachelY 118988 2.59985775 -1.41685037 148.960876 -81.179546
    Oben rechts KachelX + 1 119772 KachelY 118988 2.59990569 -1.41685037 148.963623 -81.179546
    Unten links KachelX 119771 KachelY + 1 118989 2.59985775 -1.41685772 148.960876 -81.179968
    Unten rechts KachelX + 1 119772 KachelY + 1 118989 2.59990569 -1.41685772 148.963623 -81.179968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41685037--1.41685772) × R
    7.3500000001836e-06 × 6371000     		dl = 46.8268500011697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41685037--1.41685772) × R
    7.3500000001836e-06 × 6371000     		dr = 46.8268500011697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59985775-2.59990569) × cos(-1.41685037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153338606884719 × 6371000     		do = 46.8335574783036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59985775-2.59990569) × cos(-1.41685772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153331343803843 × 6371000     		du = 46.8313391464526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41685037)-sin(-1.41685772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153338606884719-0.153331343803843)×R²
    abs(2.59990569-2.59985775)×7.26308087517502e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.26308087517502e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.26308087517502e-06×40589641000000     		ar = 2193.01603225572m²