Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119770 / 118970
↖ ↑ ↗
← S 81.171962°
E148.958130°		 ← 46.87 m → S 81.171962°
E148.960876°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.172384°
E148.958130°		 ← 46.87 m →
2 198 m²		 S 81.172384°
E148.960876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913776397705078 y=0.907672882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913776397705078 × 217)
    floor (0.913776397705078 × 131072)
    floor (119770.5)     		tx = 119770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907672882080078 × 217)
    floor (0.907672882080078 × 131072)
    floor (118970.5)     		ty = 118970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119770 / 118970 ti = "17/119770/118970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119770/118970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119770 ÷ 217
    119770 ÷ 131072     		x = 0.913772583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118970 ÷ 217
    118970 ÷ 131072     		y = 0.907669067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913772583007812 × 2 - 1) × π
    0.827545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59980981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907669067382812 × 2 - 1) × π
    -0.815338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56146029429808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59980981} λ = 2.59980981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56146029429808))-π/2
    2×atan(0.0771919351561207)-π/2
    2×0.0770391624824111-π/2
    0.154078324964822-1.57079632675     		φ = -1.41671800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59980981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.958130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41671800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.171962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119770 KachelY 118970 2.59980981 -1.41671800 148.958130 -81.171962
    Oben rechts KachelX + 1 119771 KachelY 118970 2.59985775 -1.41671800 148.960876 -81.171962
    Unten links KachelX 119770 KachelY + 1 118971 2.59980981 -1.41672536 148.958130 -81.172384
    Unten rechts KachelX + 1 119771 KachelY + 1 118971 2.59985775 -1.41672536 148.960876 -81.172384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41671800--1.41672536) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41671800--1.41672536) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59980981-2.59985775) × cos(-1.41671800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153469410094308 × 6371000     		do = 46.8735081453867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59980981-2.59985775) × cos(-1.41672536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153462137281134 × 6371000     		du = 46.8712868410411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41671800)-sin(-1.41672536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153469410094308-0.153462137281134)×R²
    abs(2.59985775-2.59980981)×7.2728131741695e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2728131741695e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2728131741695e-06×40589641000000     		ar = 2197.87296709061m²