Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11977 / 12787
↖ ↑ ↗
← S 70.517570°
E 83.166504°		 ← 814.88 m → S 70.517570°
E 83.188477°		 →
↑
814.72 m
↓
↑
814.72 m
↓
S 70.524897°
E 83.166504°		 ← 814.58 m →
663 779 m²		 S 70.524897°
E 83.188477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731048583984375 y=0.780487060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731048583984375 × 214)
    floor (0.731048583984375 × 16384)
    floor (11977.5)     		tx = 11977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780487060546875 × 214)
    floor (0.780487060546875 × 16384)
    floor (12787.5)     		ty = 12787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11977 / 12787 ti = "14/11977/12787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11977/12787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11977 ÷ 214
    11977 ÷ 16384     		x = 0.73101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12787 ÷ 214
    12787 ÷ 16384     		y = 0.78045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73101806640625 × 2 - 1) × π
    0.4620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.45152932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.5609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76216043003326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45152932} λ = 1.45152932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76216043003326))-π/2
    2×atan(0.171673574149274)-π/2
    2×0.170016272447352-π/2
    0.340032544894705-1.57079632675     		φ = -1.23076378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45152932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.166504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23076378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.517570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11977 KachelY 12787 1.45152932 -1.23076378 83.166504 -70.517570
    Oben rechts KachelX + 1 11978 KachelY 12787 1.45191282 -1.23076378 83.188477 -70.517570
    Unten links KachelX 11977 KachelY + 1 12788 1.45152932 -1.23089166 83.166504 -70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 11978 KachelY + 1 12788 1.45191282 -1.23089166 83.188477 -70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23076378--1.23089166) × R
    0.000127879999999969 × 6371000     		dl = 814.723479999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23076378--1.23089166) × R
    0.000127879999999969 × 6371000     		dr = 814.723479999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45152932-1.45191282) × cos(-1.23076378) × R
    0.000383500000000092 × 0.333517775606915 × 6371000     		do = 814.876810508396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45152932-1.45191282) × cos(-1.23089166) × R
    0.000383500000000092 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 814.582246884886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23076378)-sin(-1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333517775606915-0.333397214801624)×R²
    abs(1.45191282-1.45152932)×0.000120560805291159×R²
    0.000383500000000092×0.000120560805291159×6371000²
    0.000383500000000092×0.000120560805291159×40589641000000     		ar = 663779.27778395m²