Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119769 / 118985
↖ ↑ ↗
← S 81.178283°
E148.955383°		 ← 46.83 m → S 81.178283°
E148.958130°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
S 81.178704°
E148.955383°		 ← 46.83 m →
2 193 m²		 S 81.178704°
E148.958130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913768768310547 y=0.907787322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913768768310547 × 217)
    floor (0.913768768310547 × 131072)
    floor (119769.5)     		tx = 119769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907787322998047 × 217)
    floor (0.907787322998047 × 131072)
    floor (118985.5)     		ty = 118985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119769 / 118985 ti = "17/119769/118985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119769/118985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119769 ÷ 217
    119769 ÷ 131072     		x = 0.913764953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118985 ÷ 217
    118985 ÷ 131072     		y = 0.907783508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913764953613281 × 2 - 1) × π
    0.827529907226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59976188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907783508300781 × 2 - 1) × π
    -0.815567016601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.56217934779238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59976188} λ = 2.59976188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56217934779238))-π/2
    2×atan(0.0771364499762117)-π/2
    2×0.0769840057231037-π/2
    0.153968011446207-1.57079632675     		φ = -1.41682832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59976188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.955383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41682832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.178283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119769 KachelY 118985 2.59976188 -1.41682832 148.955383 -81.178283
    Oben rechts KachelX + 1 119770 KachelY 118985 2.59980981 -1.41682832 148.958130 -81.178283
    Unten links KachelX 119769 KachelY + 1 118986 2.59976188 -1.41683567 148.955383 -81.178704
    Unten rechts KachelX + 1 119770 KachelY + 1 118986 2.59980981 -1.41683567 148.958130 -81.178704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41682832--1.41683567) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41682832--1.41683567) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59976188-2.59980981) × cos(-1.41682832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153360396077639 × 6371000     		do = 46.8304418679007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59976188-2.59980981) × cos(-1.41683567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153353133021617 × 6371000     		du = 46.8282240063696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41682832)-sin(-1.41683567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153360396077639-0.153353133021617)×R²
    abs(2.59980981-2.59976188)×7.26305602258281e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.26305602258281e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.26305602258281e-06×40589641000000     		ar = 2192.87014906832m²